MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaf 16393
Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasvscaf.c ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
imasvscaf (𝜑 :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . 3 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . 3 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 16391 . 2 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 16374 . . 3 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
13 fof 6268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
1514ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1612, 15syldan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1716ralrimivw 3097 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1817anass1rs 884 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝑉) ∧ 𝑝𝐾) → ∀𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
1918ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑉) → ∀𝑝𝐾𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵)
20 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2120fmpt2 7397 . . . . . . . 8 (∀𝑝𝐾𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ 𝐵 ↔ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵)
2219, 21sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵)
23 fssxp 6213 . . . . . . 7 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶𝐵 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵))
2514ffvelrnda 6514 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐵)
2625snssd 4477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑉) → {(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵)
27 xpss2 5277 . . . . . . 7 ({(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
28 xpss1 5276 . . . . . . 7 ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × 𝐵) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3024, 29sstrd 3746 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3130ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
32 iunss 4705 . . . 4 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵) ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3331, 32sylibr 224 . . 3 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
3411, 33eqsstrd 3772 . 2 (𝜑 ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵))
35 dff2 6526 . 2 ( :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( Fn (𝐾 × 𝐵) ∧ ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × 𝐵)))
3610, 34, 35sylanbrc 701 1 (𝜑 :(𝐾 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wss 3707  {csn 4313   ciun 4664   × cxp 5256   Fn wfn 6036  wf 6037  ontowfo 6039  cfv 6041  (class class class)co 6805  cmpt2 6807  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  s cimas 16358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-imas 16362
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator