MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasmnd 17535
Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasmnd.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasmnd.p + = (+g𝑅)
imasmnd.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasmnd.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasmnd.r (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
imasmnd.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
imasmnd (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasmnd.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasmnd.p . 2 + = (+g𝑅)
4 imasmnd.f . 2 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imasmnd.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6 imasmnd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
763ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
8 simp2 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
923ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
108, 9eleqtrd 2851 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11 simp3 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
1211, 9eleqtrd 2851 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413, 3mndcl 17508 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
157, 10, 12, 14syl3anc 1475 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1615, 9eleqtrrd 2852 . 2 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
176adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Mnd)
18103adant3r3 1198 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19123adant3r3 1198 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20 simpr3 1236 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
212adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
2220, 21eleqtrd 2851 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
2313, 3mndass 17509 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2417, 18, 19, 22, 23syl13anc 1477 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2524fveq2d 6336 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
26 imasmnd.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
2713, 26mndidcl 17515 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
286, 27syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
2928, 2eleqtrrd 2852 . 2 (𝜑0𝑉)
306adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
312eleq2d 2835 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
3231biimpa 462 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
3313, 3, 26mndlid 17518 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
3430, 32, 33syl2anc 565 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
3534fveq2d 6336 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹𝑥))
3613, 3, 26mndrid 17519 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
3730, 32, 36syl2anc 565 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
3837fveq2d 6336 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘(𝑥 + 0 )) = (𝐹𝑥))
391, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 25, 29, 35, 38imasmnd2 17534 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  ontowfo 6029  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  s cimas 16371  Mndcmnd 17501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-0g 16309  df-imas 16375  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502
This theorem is referenced by:  imasmndf1  17536
  Copyright terms: Public domain W3C validator