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Theorem imasleval 16248
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasless.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasless.r (𝜑𝑅𝑍)
imasless.l = (le‘𝑈)
imasleval.n 𝑁 = (le‘𝑅)
imasleval.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
Assertion
Ref Expression
imasleval ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝐹   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑌,𝑑   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑈(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   (𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑍(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑋 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑋))
21breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑑)))
3 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 → (𝑐𝑁𝑑𝑋𝑁𝑑))
42, 3bibi12d 334 . . . . 5 (𝑐 = 𝑋 → (((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑) ↔ ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)))
54imbi2d 329 . . . 4 (𝑐 = 𝑋 → ((𝜑 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑))))
6 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑌 → (𝐹𝑑) = (𝐹𝑌))
76breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑌 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
8 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑌 → (𝑋𝑁𝑑𝑋𝑁𝑌))
97, 8bibi12d 334 . . . . 5 (𝑑 = 𝑌 → (((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑) ↔ ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
109imbi2d 329 . . . 4 (𝑑 = 𝑌 → ((𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑑) ↔ 𝑋𝑁𝑑)) ↔ (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))))
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
12 fofn 6155 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
15 fndm 6028 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝑉 → dom 𝐹 = 𝑉)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → dom 𝐹 = 𝑉)
1716rexeqdv 3175 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
18 fnbrfvb 6274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn 𝑉𝑎𝑉) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹𝑐)))
1914, 18sylan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ 𝑎𝐹(𝐹𝑐)))
2019anbi1d 741 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
21 ancom 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
22 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
23 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝑑) ∈ V
2422, 23breldm 5361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2625pm4.71ri 666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
2721, 26bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
2827exbii 1814 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑏(𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
29 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎 ∈ V
3029, 23brco 5325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑏(𝑎𝑁𝑏𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
31 df-rex 2947 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
3228, 30, 313bitr4i 292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏))
3314ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → 𝐹 Fn 𝑉)
34 fnbrfvb 6274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉𝑏𝑉) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
3533, 34sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑏𝐹(𝐹𝑑)))
3635anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
37 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
38373expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
3938an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
4039anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑)))
4140impl 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑)) → (𝑎𝑁𝑏𝑐𝑁𝑑))
4241pm5.32da 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4342an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4436, 43bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4544rexbidva 3078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
46 r19.41v 3118 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑏𝑉 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
4745, 46syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
4816rexeqdv 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
4948ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏)))
50 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑑𝑉)
51 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)
52 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
5352eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)))
5453rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝑉 ∧ (𝐹𝑑) = (𝐹𝑑)) → ∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
5550, 51, 54sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
5655biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5756ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑏𝑉 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
5847, 49, 573bitr4d 300 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (∃𝑏 ∈ dom 𝐹(𝑏𝐹(𝐹𝑑) ∧ 𝑎𝑁𝑏) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
5932, 58syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐)) → (𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
6059pm5.32da 674 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6120, 60bitr3d 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6261rexbidva 3078 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎𝑉 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
6317, 62bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
64 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑐) ∈ V
6564, 29brcnv 5337 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎𝐹(𝐹𝑐))
6665anbi1i 731 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)))
6729, 64breldm 5361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐹(𝐹𝑐) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) → 𝑎 ∈ dom 𝐹)
6968pm4.71ri 666 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7066, 69bitri 264 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7170exbii 1814 . . . . . . . 8 (∃𝑎((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7264, 23brco 5325 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑) ↔ ∃𝑎((𝐹𝑐)𝐹𝑎𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)))
73 df-rex 2947 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑))))
7471, 72, 733bitr4ri 293 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ dom 𝐹(𝑎𝐹(𝐹𝑐) ∧ 𝑎(𝐹𝑁)(𝐹𝑑)) ↔ (𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑))
75 r19.41v 3118 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑉 ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑))
7663, 74, 753bitr3g 302 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
77 imasless.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
78 imasless.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
79 imasless.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑍)
80 imasleval.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (le‘𝑅)
81 imasless.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝑈)
8277, 78, 11, 79, 80, 81imasle 16230 . . . . . . . 8 (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
8382adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
8483breqd 4696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ (𝐹𝑐)((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)(𝐹𝑑)))
85 simprl 809 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑐𝑉)
86 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)
87 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑐 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
8887eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)))
8988rspcev 3340 . . . . . . . 8 ((𝑐𝑉 ∧ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑐)) → ∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
9085, 86, 89sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
9190biantrurd 528 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑐𝑁𝑑 ↔ (∃𝑎𝑉 (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐) ∧ 𝑐𝑁𝑑)))
9276, 84, 913bitr4d 300 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑))
9392expcom 450 . . . 4 ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝜑 → ((𝐹𝑐) (𝐹𝑑) ↔ 𝑐𝑁𝑑)))
945, 10, 93vtocl2ga 3305 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝜑 → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
9594com12 32 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌)))
96953impib 1281 1 ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋𝑁𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  ccnv 5142  dom cdm 5143  ccom 5147   Fn wfn 5921  ontowfo 5924  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  s cimas 16211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-imas 16215
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