Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasless 16402
 Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasless.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasless.r (𝜑𝑅𝑍)
imasless.l = (le‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasless (𝜑 ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasless
StepHypRef Expression
1 imasless.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasless.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasless.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasless.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 eqid 2760 . . 3 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
6 imasless.l . . 3 = (le‘𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6imasle 16385 . 2 (𝜑 = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
8 relco 5794 . . . 4 Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)
9 relssdmrn 5817 . . . 4 (Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
11 dmco 5804 . . . . 5 dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅)))
12 fof 6276 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
13 frel 6211 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉𝐵 → Rel 𝐹)
143, 12, 133syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel 𝐹)
15 dfrel2 5741 . . . . . . . 8 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
1614, 15sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = 𝐹)
1716imaeq1d 5623 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))))
18 imassrn 5635 . . . . . . 7 (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ ran 𝐹
19 forn 6279 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
203, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
2118, 20syl5sseq 3794 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
2217, 21eqsstrd 3780 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
2311, 22syl5eqss 3790 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵)
24 rncoss 5541 . . . . 5 ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅))
25 rnco2 5803 . . . . . 6 ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) = (𝐹 “ ran (le‘𝑅))
26 imassrn 5635 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ ran 𝐹
2726, 20syl5sseq 3794 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
2825, 27syl5eqss 3790 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
2924, 28syl5ss 3755 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵)
30 xpss12 5281 . . . 4 ((dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵) → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
3123, 29, 30syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
3210, 31syl5ss 3755 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
337, 32eqsstrd 3780 1 (𝜑 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   × cxp 5264  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269   ∘ ccom 5270  Rel wrel 5271  ⟶wf 6045  –onto→wfo 6047  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150   “s cimas 16366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-imas 16370 This theorem is referenced by:  xpsless  16442
 Copyright terms: Public domain W3C validator