MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasless 16402
Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasless.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasless.r (𝜑𝑅𝑍)
imasless.l = (le‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasless (𝜑 ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasless
StepHypRef Expression
1 imasless.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasless.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasless.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasless.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 eqid 2760 . . 3 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
6 imasless.l . . 3 = (le‘𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6imasle 16385 . 2 (𝜑 = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
8 relco 5794 . . . 4 Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)
9 relssdmrn 5817 . . . 4 (Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
11 dmco 5804 . . . . 5 dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅)))
12 fof 6276 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
13 frel 6211 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉𝐵 → Rel 𝐹)
143, 12, 133syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel 𝐹)
15 dfrel2 5741 . . . . . . . 8 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
1614, 15sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = 𝐹)
1716imaeq1d 5623 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))))
18 imassrn 5635 . . . . . . 7 (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ ran 𝐹
19 forn 6279 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
203, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
2118, 20syl5sseq 3794 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
2217, 21eqsstrd 3780 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
2311, 22syl5eqss 3790 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵)
24 rncoss 5541 . . . . 5 ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅))
25 rnco2 5803 . . . . . 6 ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) = (𝐹 “ ran (le‘𝑅))
26 imassrn 5635 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ ran 𝐹
2726, 20syl5sseq 3794 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
2825, 27syl5eqss 3790 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
2924, 28syl5ss 3755 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵)
30 xpss12 5281 . . . 4 ((dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵) → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
3123, 29, 30syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
3210, 31syl5ss 3755 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
337, 32eqsstrd 3780 1 (𝜑 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   × cxp 5264  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  ccom 5270  Rel wrel 5271  wf 6045  ontowfo 6047  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  s cimas 16366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-imas 16370
This theorem is referenced by:  xpsless  16442
  Copyright terms: Public domain W3C validator