Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasle 16306
 Description: The ordering of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasbas.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasbas.r (𝜑𝑅𝑍)
imasle.n 𝑁 = (le‘𝑅)
imasle.l = (le‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasle (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem imasle
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasbas.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2724 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2724 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2724 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6 eqid 2724 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 eqid 2724 . . 3 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
8 eqid 2724 . . 3 (·𝑖𝑅) = (·𝑖𝑅)
9 eqid 2724 . . 3 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
10 eqid 2724 . . 3 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
11 imasle.n . . 3 𝑁 = (le‘𝑅)
12 imasbas.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
13 imasbas.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
14 eqid 2724 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
151, 2, 12, 13, 3, 14imasplusg 16300 . . 3 (𝜑 → (+g𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(+g𝑅)𝑞))⟩})
16 eqid 2724 . . . 4 (.r𝑈) = (.r𝑈)
171, 2, 12, 13, 4, 16imasmulr 16301 . . 3 (𝜑 → (.r𝑈) = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝(.r𝑅)𝑞))⟩})
18 eqid 2724 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
191, 2, 12, 13, 5, 6, 7, 18imasvsca 16303 . . 3 (𝜑 → ( ·𝑠𝑈) = 𝑞𝑉 (𝑝 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)), 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝( ·𝑠𝑅)𝑞))))
20 eqidd 2725 . . 3 (𝜑 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩} = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩})
21 eqid 2724 . . . 4 (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
221, 2, 12, 13, 9, 21imastset 16305 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
23 eqid 2724 . . . 4 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
241, 2, 12, 13, 10, 23imasds 16296 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ inf( 𝑢 ∈ ℕ ran (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑𝑚 (1...𝑢)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(𝑤‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑢))) = 𝑦 ∧ ∀𝑣 ∈ (1...(𝑢 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(𝑤𝑣))) = (𝐹‘(1st ‘(𝑤‘(𝑣 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg ((dist‘𝑅) ∘ 𝑧))), ℝ*, < )))
25 eqidd 2725 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 12, 13imasval 16294 . 2 (𝜑𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}))
27 eqid 2724 . . 3 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
2827imasvalstr 16235 . 2 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
29 pleid 16172 . 2 le = Slot (le‘ndx)
30 snsstp2 4456 . . 3 {⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩} ⊆ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩}
31 ssun2 3885 . . 3 {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
3230, 31sstri 3718 . 2 {⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑈)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑈)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑅)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ( ·𝑠𝑈)⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝑝(·𝑖𝑅)𝑞)⟩}⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (TopSet‘𝑈)⟩, ⟨(le‘ndx), ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹)⟩, ⟨(dist‘ndx), (dist‘𝑈)⟩})
33 fof 6228 . . . . . 6 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
3412, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
35 fvex 6314 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
362, 35syl6eqel 2811 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
37 fex 6605 . . . . 5 ((𝐹:𝑉𝐵𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
3834, 36, 37syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
39 fvex 6314 . . . . 5 (le‘𝑅) ∈ V
4011, 39eqeltri 2799 . . . 4 𝑁 ∈ V
41 coexg 7234 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐹𝑁) ∈ V)
4238, 40, 41sylancl 697 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ V)
43 cnvexg 7229 . . . 4 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
4438, 43syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
45 coexg 7234 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) ∈ V)
4642, 44, 45syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹) ∈ V)
47 imasle.l . 2 = (le‘𝑈)
4826, 28, 29, 32, 46, 47strfv3 16031 1 (𝜑 = ((𝐹𝑁) ∘ 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ∪ cun 3678  {csn 4285  {ctp 4289  ⟨cop 4291  ∪ ciun 4628  ◡ccnv 5217   ∘ ccom 5222  ⟶wf 5997  –onto→wfo 5999  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  1c1 10050  2c2 11183  ;cdc 11606  ndxcnx 15977  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  .rcmulr 16065  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  ·𝑖cip 16069  TopSetcts 16070  lecple 16071  distcds 16073  TopOpenctopn 16205   “s cimas 16287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-imas 16291 This theorem is referenced by:  imasless  16323  imasleval  16324
 Copyright terms: Public domain W3C validator