MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1oxmet 22227
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1oxmet.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1oxmet.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1oxmet.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1oxmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1oxmet.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1oxmet.m (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasf1oxmet.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasf1oxmet.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
4 f1ofo 6182 . . . . 5 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
6 imasf1oxmet.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
7 eqid 2651 . . . 4 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
8 imasf1oxmet.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑈)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 16221 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
101adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
112adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
123adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
136adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑅𝑍)
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
17 simprl 809 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
18 simprr 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 22226 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
20 xmetcl 22183 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
21203expb 1285 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
2215, 21sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
2319, 22eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*)
2423ralrimivva 3000 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*)
25 f1ofn 6176 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
27 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
2827eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
2928ralrn 6402 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
3026, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
31 forn 6156 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
325, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
3332raleqdv 3174 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3430, 33bitr3d 270 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3534ralbidv 3015 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3624, 35mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
37 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷𝑦))
3837eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3938ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4039ralrn 6402 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4126, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4232raleqdv 3174 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4341, 42bitr3d 270 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4436, 43mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
45 ffnov 6806 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
469, 44, 45sylanbrc 699 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ*)
47 xmeteq0 22190 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝐸𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
4816, 17, 18, 47syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑎𝐸𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
4919eqeq1d 2653 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝑎𝐸𝑏) = 0))
50 f1of1 6174 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1𝐵)
513, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑉1-1𝐵)
52 f1fveq 6559 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑉1-1𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
5351, 52sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
5448, 49, 533bitr4d 300 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)))
5516adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
56 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
5717adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑎𝑉)
5818adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑏𝑉)
59 xmettri2 22192 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ≤ ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ≤ ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6119adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
6210adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
6311adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
6412adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
6513adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑅𝑍)
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 22226 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) = (𝑐𝐸𝑎))
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 22226 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑐𝐸𝑏))
6866, 67oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) = ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6960, 61, 683brtr4d 4717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
7069ralrimiva 2995 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
71 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝐷(𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)))
72 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝐷(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))
7371, 72oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐹𝑐) → ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) = (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
7473breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7574ralrn 6402 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7626, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7732raleqdv 3174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
7876, 77bitr3d 270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8070, 79mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))
8154, 80jca 553 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8281ralrimivva 3000 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8327eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0))
84 eqeq2 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)))
8583, 84bibi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))))
86 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))
8827, 87breq12d 4698 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8988ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
9085, 89anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9190ralrn 6402 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9226, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9332raleqdv 3174 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9492, 93bitr3d 270 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9594ralbidv 3015 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9682, 95mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
9737eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0))
98 eqeq1 2655 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦))
9997, 98bibi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦)))
100 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑧𝐷(𝐹𝑎)))
101100oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10237, 101breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
103102ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
10499, 103anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
105104ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
106105ralrn 6402 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10726, 106syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10832raleqdv 3174 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
109107, 108bitr3d 270 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
11096, 109mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11115elfvexd 6260 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ V)
112 fornex 7177 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝐹:𝑉onto𝐵𝐵 ∈ V))
113111, 5, 112sylc 65 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
114 isxmet 22176 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ↔ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
115113, 114syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ↔ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
11646, 110, 115mpbir2and 977 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  *cxr 10111  cle 10113   +𝑒 cxad 11982  Basecbs 15904  distcds 15997  s cimas 16211  ∞Metcxmt 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-xrs 16209  df-imas 16215  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-xmet 19787
This theorem is referenced by:  imasf1omet  22228  xpsxmet  22232  imasf1obl  22340  imasf1oxms  22341
  Copyright terms: Public domain W3C validator