Theorem imafi2 29829

Description: The image by a finite set is finite. See also imafi 8419. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imafi2	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5263	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = ran (𝐴 ↾ 𝐵)
2		resss 5562	. . . 4 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
3		ssfi 8340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
4	2, 3	mpan2 671	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
5		rnfi 8409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
7	1, 6	syl5eqel 2854	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 “ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  ran crn 5251   ↾ cres 5252   “ cima 5253  Fincfn 8113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-fin 8117

This theorem is referenced by:  gsummpt2d  30121  esum2d  30495