Theorem imaexg 7145

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5512	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 4837	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 696	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ran crn 5144   “ cima 5146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-cnv 5151  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156

This theorem is referenced by:  imaex  7146  ecexg  7791  fopwdom  8109  gsumvalx  17317  gsum2dlem1  18415  gsum2dlem2  18416  gsum2d  18417  xkococnlem  21510  qtopval  21546  ustuqtop4  22095  utopsnnei  22100  fmucnd  22143  metustel  22402  metustss  22403  metustfbas  22409  metuel2  22417  psmetutop  22419  restmetu  22422  cnheiborlem  22800  itg2gt0  23572  shsval  28299  nlfnval  28868  ffsrn  29632  gsummpt2co  29908  gsummpt2d  29909  locfinreflem  30035  qqhval  30146  esum2d  30283  mbfmcnt  30458  sitgaddlemb  30538  eulerpartgbij  30562  eulerpartlemgs2  30570  orvcval  30647  coinfliprv  30672  ballotlemrval  30707  ballotlem7  30725  msrval  31561  mthmval  31598  dfrdg2  31825  brapply  32170  dfrdg4  32183  tailval  32493  bj-clex  33077  isbasisrelowl  33336  relowlpssretop  33342  ptrest  33538  lkrval  34693  isnacs3  37590  pw2f1ocnv  37921  pw2f1o2val  37923  lmhmlnmsplit  37974  intima0  38256  elintima  38262  brtrclfv2  38336  frege98  38572  frege110  38584  frege133  38607  binomcxplemnotnn0  38872  imaexi  39729  tgqioo2  40092  sge0f1o  40917  smfco  41330