Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  imaelshi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaelshi 29045
 Description: The image of a subspace under a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rnelsh.1 𝑇 ∈ LinOp
imaelsh.2 𝐴S
Assertion
Ref Expression
imaelshi (𝑇𝐴) ∈ S

Proof of Theorem imaelshi
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5512 . . . 4 (𝑇𝐴) ⊆ ran 𝑇
2 rnelsh.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopfi 28956 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 frn 6091 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ran 𝑇 ⊆ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ran 𝑇 ⊆ ℋ
61, 5sstri 3645 . . 3 (𝑇𝐴) ⊆ ℋ
72lnop0i 28957 . . . 4 (𝑇‘0) = 0
8 imaelsh.2 . . . . . 6 𝐴S
9 sh0 28201 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 0𝐴
11 ffun 6086 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → Fun 𝑇)
123, 11ax-mp 5 . . . . . 6 Fun 𝑇
138shssii 28198 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℋ
143fdmi 6090 . . . . . . 7 dom 𝑇 = ℋ
1513, 14sseqtr4i 3671 . . . . . 6 𝐴 ⊆ dom 𝑇
16 funfvima2 6533 . . . . . 6 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → (0𝐴 → (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴)))
1712, 15, 16mp2an 708 . . . . 5 (0𝐴 → (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝑇‘0) ∈ (𝑇𝐴)
197, 18eqeltrri 2727 . . 3 0 ∈ (𝑇𝐴)
206, 19pm3.2i 470 . 2 ((𝑇𝐴) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝑇𝐴))
21 ffn 6083 . . . . . 6 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
223, 21ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 Fn ℋ
23 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑇𝑥) → (𝑢 + 𝑣) = ((𝑇𝑥) + 𝑣))
2423eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑇𝑥) → ((𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2524ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑇𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2625ralima 6538 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)))
2722, 13, 26mp2an 708 . . . 4 (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
288sheli 28199 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
298sheli 28199 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
302lnopaddi 28958 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
3128, 29, 30syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
32 shaddcl 28202 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
338, 32mp3an1 1451 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
34 funfvima2 6533 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
3512, 15, 34mp2an 708 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3633, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3731, 36eqeltrrd 2731 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
3837ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
39 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑇𝑦) → ((𝑇𝑥) + 𝑣) = ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)))
4039eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑇𝑦) → (((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
4140ralima 6538 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
4222, 13, 41mp2an 708 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑇𝑥) + (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
4338, 42sylibr 224 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)((𝑇𝑥) + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
4427, 43mprgbir 2956 . . 3 𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)
452lnopmuli 28959 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
4629, 45sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
47 shmulcl 28203 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴)
488, 47mp3an1 1451 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴)
49 funfvima2 6533 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝑇𝐴 ⊆ dom 𝑇) → ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5012, 15, 49mp2an 708 . . . . . . . 8 ((𝑢 · 𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5148, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑇‘(𝑢 · 𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5246, 51eqeltrrd 2731 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5352ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
54 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑇𝑦) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢 · (𝑇𝑦)))
5554eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑇𝑦) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5655ralima 6538 . . . . . 6 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴)))
5722, 13, 56mp2an 708 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑢 · (𝑇𝑦)) ∈ (𝑇𝐴))
5853, 57sylibr 224 . . . 4 (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
5958rgen 2951 . . 3 𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴)
6044, 59pm3.2i 470 . 2 (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))
61 issh2 28194 . 2 ((𝑇𝐴) ∈ S ↔ (((𝑇𝐴) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝑇𝐴)) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝑇𝐴)∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 + 𝑣) ∈ (𝑇𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ (𝑇𝐴)(𝑢 · 𝑣) ∈ (𝑇𝐴))))
6220, 60, 61mpbir2an 975 1 (𝑇𝐴) ∈ S
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   ℋchil 27904   +ℎ cva 27905   ·ℎ csm 27906  0ℎc0v 27909   Sℋ csh 27913  LinOpclo 27932 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-hvsub 27956  df-sh 28192  df-lnop 28828 This theorem is referenced by:  rnelshi  29046
 Copyright terms: Public domain W3C validator