MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaelfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaelfm 21976
Description: An image of a filter element is in the image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
imaelfm.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
imaelfm (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Proof of Theorem imaelfm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5635 . . . . 5 (𝐹𝑆) ⊆ ran 𝐹
2 frn 6214 . . . . 5 (𝐹:𝑌𝑋 → ran 𝐹𝑋)
31, 2syl5ss 3755 . . . 4 (𝐹:𝑌𝑋 → (𝐹𝑆) ⊆ 𝑋)
433ad2ant3 1130 . . 3 ((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑆) ⊆ 𝑋)
5 ssid 3765 . . . 4 (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)
6 imaeq2 5620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
76sseq1d 3773 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆) ↔ (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)))
87rspcev 3449 . . . 4 ((𝑆𝐿 ∧ (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))
95, 8mpan2 709 . . 3 (𝑆𝐿 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))
104, 9anim12i 591 . 2 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆)))
11 imaelfm.l . . . 4 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
1211elfm2 21973 . . 3 ((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))))
1312adantr 472 . 2 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))))
1410, 13mpbird 247 1 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  wss 3715  ran crn 5267  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  fBascfbas 19956  filGencfg 19957   FilMap cfm 21958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-fm 21963
This theorem is referenced by:  rnelfm  21978  fmfnfmlem2  21980  fmfnfmlem4  21982  fmfnfm  21983  fmco  21986  isfcf  22059  cnextcn  22092
  Copyright terms: Public domain W3C validator