MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iitopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iitopon 22875
Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iitopon II ∈ (TopOn‘(0[,]1))

Proof of Theorem iitopon
StepHypRef Expression
1 cnxmet 22769 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2 unitssre 12504 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℝ
3 ax-resscn 10177 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
42, 3sstri 3745 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℂ
5 xmetres2 22359 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)))
61, 4, 5mp2an 710 . 2 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1))
7 df-ii 22873 . . 3 II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
87mopntopon 22437 . 2 (((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (∞Met‘(0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
96, 8ax-mp 5 1 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2131  wss 3707   × cxp 5256  cres 5260  ccom 5262  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121  cmin 10450  [,]cicc 12363  abscabs 14165  ∞Metcxmt 19925  TopOnctopon 20909  IIcii 22871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-icc 12367  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-ii 22873
This theorem is referenced by:  iitop  22876  iiuni  22877  icchmeo  22933  htpycom  22968  htpyid  22969  htpyco1  22970  htpyco2  22971  htpycc  22972  phtpycn  22975  phtpy01  22977  isphtpy2d  22979  phtpycom  22980  phtpyid  22981  phtpyco2  22982  phtpycc  22983  reparphti  22989  pcocn  23009  pcohtpylem  23011  pcoptcl  23013  pcopt  23014  pcopt2  23015  pcoass  23016  pcorevcl  23017  pcorevlem  23018  pi1xfrf  23045  pi1xfr  23047  pi1xfrcnvlem  23048  pi1xfrcnv  23049  pi1cof  23051  pi1coghm  23053  xrge0pluscn  30287  ptpconn  31514  indispconn  31515  connpconn  31516  txsconnlem  31521  txsconn  31522  cvxsconn  31524  cvmliftlem8  31573  cvmlift2lem2  31585  cvmlift2lem3  31586  cvmlift2lem6  31589  cvmlift2lem9  31592  cvmlift2lem11  31594  cvmlift2lem12  31595  cvmliftphtlem  31598  cvmlift3lem6  31605  cvmlift3lem9  31608
  Copyright terms: Public domain W3C validator