Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iistmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iistmd 30178
Description: The closed unit forms a topological monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
df-iis 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
Assertion
Ref Expression
iistmd 𝐼 ∈ TopMnd

Proof of Theorem iistmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 22706 . . 3 fld ∈ NrmRing
2 nrgtrg 22616 . . 3 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ TopRing)
3 eqid 2724 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
43trgtmd 22090 . . 3 (ℂfld ∈ TopRing → (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd)
51, 2, 4mp2b 10 . 2 (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd
6 unitsscn 30172 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℂ
7 1elunit 12405 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
8 iimulcl 22858 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
98rgen2a 3079 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
10 nrgring 22589 . . . . 5 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
113ringmgp 18674 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
121, 10, 11mp2b 10 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
13 cnfldbas 19873 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
143, 13mgpbas 18616 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15 cnfld1 19894 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
163, 15ringidval 18624 . . . . 5 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
17 cnfldmul 19875 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
183, 17mgpplusg 18614 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
1914, 16, 18issubm 17469 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))))
2012, 19ax-mp 5 . . 3 ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)))
216, 7, 9, 20mpbir3an 1381 . 2 (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
22 df-iis . . 3 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2322submtmd 22030 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd ∧ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → 𝐼 ∈ TopMnd)
245, 21, 23mp2an 710 1 𝐼 ∈ TopMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wss 3680  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   · cmul 10054  [,]cicc 12292  s cress 15981  Mndcmnd 17416  SubMndcsubmnd 17456  mulGrpcmgp 18610  Ringcrg 18668  fldccnfld 19869  TopMndctmd 21996  TopRingctrg 22081  NrmRingcnrg 22506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-plusf 17363  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-subrg 18901  df-abv 18940  df-lmod 18988  df-scaf 18989  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-tmd 21998  df-tgp 21999  df-trg 22085  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-nm 22509  df-ngp 22510  df-nrg 22512  df-nlm 22513
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  30215  xrge0pluscn  30216  xrge0tmd  30222
  Copyright terms: Public domain W3C validator