Theorem iimulcn 22784

Description: Multiplication is a continuous function on the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iimulcn	⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem iimulcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	dfii3 22733	. . . . 5 ⊢ II = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))
3	1	cnfldtopon 22633	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		unitssre 12357	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 10031	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3645	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ⊆ ℂ)
9		ax-mulf 10054	. . . . . . . . 9 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
10		ffn 6083	. . . . . . . . 9 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
12		fnov 6810	. . . . . . . 8 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
13	11, 12	mpbi 220	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
14	1	mulcn 22717	. . . . . . 7 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
15	13, 14	eqeltrri 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	2, 4, 8, 2, 4, 8, 16	cnmpt2res 21528	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18	17	trud 1533	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld))
19		iimulcl 22783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
20	19	rgen2a 3006	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
21		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦))
22	21	fmpt2 7282	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
23		frn 6091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1) → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1))
24	22, 23	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1))
25	20, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1)
26		cnrest2 21138	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
27	3, 25, 7, 26	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
28	18, 27	mpbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
29	2	oveq2i 6701	. 2 ⊢ ((II ×t II) Cn II) = ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
30	28, 29	eleqtrri 2729	1 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607   × cxp 5141  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  [,]cicc 12216   ↾_t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ℂ_fldccnfld 19794  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×_t ctx 21411  IIcii 22725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-ii 22727

This theorem is referenced by:  pcorevlem  22872