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Theorem iihalf2 22854
Description: Map the second half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 11203 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 remulcl 10134 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 708 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4 1re 10152 . . . . 5 1 ∈ ℝ
5 resubcl 10458 . . . . 5 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
63, 4, 5sylancl 697 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1125 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
8 subge0 10654 . . . . . . 7 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
93, 4, 8sylancl 697 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
10 2pos 11225 . . . . . . . 8 0 < 2
111, 10pm3.2i 470 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12 ledivmul 11012 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
134, 11, 12mp3an13 1528 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
149, 13bitr4d 271 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ (1 / 2) ≤ 𝑋))
1514biimpar 503 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
16153adant3 1124 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
17 ax-1cn 10107 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
18172timesi 11260 . . . . . . . 8 (2 · 1) = (1 + 1)
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 1) = (1 + 1))
2019breq2d 4772 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ (2 · 1) ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
21 lemul2 10989 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
224, 11, 21mp3an23 1529 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
23 lesubadd 10613 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
244, 4, 23mp3an23 1529 . . . . . . 7 ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
253, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
2620, 22, 253bitr4d 300 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
2726biimpa 502 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
28273adant2 1123 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
297, 16, 283jca 1379 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
30 halfre 11359 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
3130, 4elicc2i 12353 . 2 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
32 0re 10153 . . 3 0 ∈ ℝ
3332, 4elicc2i 12353 . 2 (((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1) ↔ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
3429, 31, 333imtr4i 281 1 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  2c2 11183  [,]cicc 12292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-2 11192  df-icc 12296
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  22855  phtpycc  22912  copco  22939  pcohtpylem  22940  pcopt  22943  pcopt2  22944  pcorevlem  22947
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