Theorem ifle 12241

Description: An if statement transforms an implication into an inequality of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ifle	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1255	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	leidd 10806	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		iftrue 4236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
4	3	adantl 473	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
6	5	imp 444	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) ∧ 𝜑) → 𝜓)
7	6	adantll 752	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝜓)
8	7	iftrued 4238	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
9	2, 4, 8	3brtr4d 4836	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
10		iffalse 4239	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
11	10	adantl 473	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
12		simpll3 1259	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpll2 1257	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	leidd 10806	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ 𝐵)
15		breq2 4808	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
16		breq2 4808	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
17	15, 16	ifboth 4268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
18	12, 14, 17	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
19	11, 18	eqbrtrd 4826	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
20	9, 19	pm2.61dan 867	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ifcif 4230   class class class wbr 4804  ℝcr 10147   ≤ cle 10287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem4  15165  itg2cnlem2  23748