MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idsrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idsrngd 19072
Description: A commutative ring is a star ring when the conjugate operation is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idsrngd.k 𝐵 = (Base‘𝑅)
idsrngd.c = (*𝑟𝑅)
idsrngd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
idsrngd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
idsrngd (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem idsrngd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idsrngd.k . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
3 eqidd 2772 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
4 eqidd 2772 . 2 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r𝑅))
5 idsrngd.c . . 3 = (*𝑟𝑅)
65a1i 11 . 2 (𝜑 = (*𝑟𝑅))
7 idsrngd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
8 crngring 18766 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 idsrngd.i . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
1110ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
1211adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
13 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
14 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
1514fveq2d 6336 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ( 𝑥) = ( 𝑎))
1615, 14eqeq12d 2786 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 𝑎) = 𝑎))
1713, 16rspcdv 3463 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥 → ( 𝑎) = 𝑎))
1812, 17mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 𝑎) = 𝑎)
1918, 13eqeltrd 2850 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 𝑎) ∈ 𝐵)
2011adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
21203adant2 1125 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
22 ringgrp 18760 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
239, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
24 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
251, 24grpcl 17638 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
2623, 25syl3an1 1166 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
27 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
2827fveq2d 6336 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏)) → ( 𝑥) = ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)))
2928, 27eqeq12d 2786 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏)) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
3026, 29rspcdv 3463 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥 → ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
3121, 30mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
32183adant3 1126 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( 𝑎) = 𝑎)
33 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
34 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
3534fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → ( 𝑥) = ( 𝑏))
3635, 34eqeq12d 2786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 𝑏) = 𝑏))
3733, 36rspcdv 3463 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥 → ( 𝑏) = 𝑏))
3820, 37mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → ( 𝑏) = 𝑏)
39383adant2 1125 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( 𝑏) = 𝑏)
4032, 39oveq12d 6811 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (( 𝑎)(+g𝑅)( 𝑏)) = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
4131, 40eqtr4d 2808 . 2 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( ‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (( 𝑎)(+g𝑅)( 𝑏)))
42 eqid 2771 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
431, 42crngcom 18770 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
447, 43syl3an1 1166 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
451, 42ringcl 18769 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
469, 45syl3an1 1166 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
47 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝑏)) → 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
4847fveq2d 6336 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝑏)) → ( 𝑥) = ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)))
4948, 47eqeq12d 2786 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝑏)) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r𝑅)𝑏)))
5046, 49rspcdv 3463 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥 → ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r𝑅)𝑏)))
5121, 50mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
5239, 32oveq12d 6811 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → (( 𝑏)(.r𝑅)( 𝑎)) = (𝑏(.r𝑅)𝑎))
5344, 51, 523eqtr4d 2815 . 2 ((𝜑𝑎𝐵𝑏𝐵) → ( ‘(𝑎(.r𝑅)𝑏)) = (( 𝑏)(.r𝑅)( 𝑎)))
5418fveq2d 6336 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ( ‘( 𝑎)) = ( 𝑎))
5554, 18eqtrd 2805 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → ( ‘( 𝑎)) = 𝑎)
562, 3, 4, 6, 9, 19, 41, 53, 55issrngd 19071 1 (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  *𝑟cstv 16151  Grpcgrp 17630  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  *-Ringcsr 19054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-rnghom 18925  df-staf 19055  df-srng 19056
This theorem is referenced by:  recrng  20184  frlmphl  20337
  Copyright terms: Public domain W3C validator