MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idrhm 18954
Description: The identity homomorphism on a ring. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
idrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
idrhm (𝑅 ∈ Ring → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))

Proof of Theorem idrhm
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
21, 1jca 555 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3 ringgrp 18773 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4 idrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
54idghm 17897 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
63, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
7 eqid 2761 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
87ringmgp 18774 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
97, 4mgpbas 18716 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
109idmhm 17566 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
126, 11jca 555 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
137, 7isrhm 18944 . 2 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
142, 12, 13sylanbrc 701 1 (𝑅 ∈ Ring → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑅 RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140   I cid 5174  cres 5269  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  Mndcmnd 17516   MndHom cmhm 17555  Grpcgrp 17644   GrpHom cghm 17879  mulGrpcmgp 18710  Ringcrg 18768   RingHom crh 18935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-grp 17647  df-ghm 17880  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-rnghom 18938
This theorem is referenced by:  rhmsubcsetclem1  42550  rhmsubcrngclem1  42556  funcringcsetcALTV2lem7  42571  ringccatidALTV  42581  funcringcsetclem7ALTV  42594  srhmsubc  42605  rhmsubclem3  42617  srhmsubcALTV  42623  rhmsubcALTVlem3  42635
  Copyright terms: Public domain W3C validator