Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomodle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomodle 38268
Description: Limit on the number of 𝑁-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomodle.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
idomodle.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
idomodle.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
idomodle ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem idomodle
StepHypRef Expression
1 idomodle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 fvex 6354 . . . . 5 (Base‘𝐺) ∈ V
31, 2eqeltri 2827 . . . 4 𝐵 ∈ V
43rabex 4956 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V
5 hashxrcl 13332 . . 3 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
64, 5mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
7 fvex 6354 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
87rabex 4956 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ∈ V
9 hashxrcl 13332 . . 3 ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ∈ ℝ*)
108, 9mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ∈ ℝ*)
11 nnre 11211 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1211rexrd 10273 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
1312adantl 473 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
14 isidom 19498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
1514simplbi 478 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
1615adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
17 crngring 18750 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
1918adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
20 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
21 idomodle.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
2220, 21unitgrp 18859 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
2319, 22syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
24 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
25 nnz 11583 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2625ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
27 idomodle.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
28 eqid 2752 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
29 eqid 2752 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
301, 27, 28, 29oddvds 18158 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
3123, 24, 26, 30syl3anc 1473 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
32 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3320, 32unitsubm 18862 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
35 nnnn0 11483 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3635ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3720, 21unitgrpbas 18858 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Base‘𝐺)
381, 37eqtr4i 2777 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Unit‘𝑅)
3924, 38syl6eleq 2841 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
4140, 21, 28submmulg 17779 . . . . . . . 8 (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g𝐺)𝑥))
4234, 36, 39, 41syl3anc 1473 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g𝐺)𝑥))
43 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4420, 21, 43unitgrpid 18861 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) = (0g𝐺))
4519, 44syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (1r𝑅) = (0g𝐺))
4642, 45eqeq12d 2767 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅) ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
4731, 46bitr4d 271 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))
4847rabbidva 3320 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)})
4948fveq2d 6348 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
50 eqid 2752 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5150, 38unitss 18852 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
52 rabss2 3818 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)})
5351, 52mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)})
54 ssdomg 8159 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ∈ V → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} → {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
558, 53, 54mpsyl 68 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)})
56 hashdomi 13353 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)} → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
5755, 56syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
5849, 57eqbrtrd 4818 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}))
59 simpl 474 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
6050, 43ringidcl 18760 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
6118, 60syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
62 simpr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6350, 40idomrootle 38267 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ≤ 𝑁)
6459, 61, 62, 63syl3anc 1473 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r𝑅)}) ≤ 𝑁)
656, 10, 13, 58, 64xrletrd 12178 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  {crab 3046  Vcvv 3332  wss 3707   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cdom 8111  *cxr 10257  cle 10259  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  chash 13303  cdvds 15174  Basecbs 16051  s cress 16052  0gc0g 16294  SubMndcsubmnd 17527  Grpcgrp 17615  .gcmg 17733  odcod 18136  mulGrpcmgp 18681  1rcur 18693  Ringcrg 18739  CRingccrg 18740  Unitcui 18831  Domncdomn 19474  IDomncidom 19475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-dvds 15175  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-prds 16302  df-pws 16304  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-ghm 17851  df-cntz 17942  df-od 18140  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-srg 18698  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-rnghom 18909  df-subrg 18972  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-nzr 19452  df-rlreg 19477  df-domn 19478  df-idom 19479  df-assa 19506  df-asp 19507  df-ascl 19508  df-psr 19550  df-mvr 19551  df-mpl 19552  df-opsr 19554  df-evls 19700  df-evl 19701  df-psr1 19744  df-vr1 19745  df-ply1 19746  df-coe1 19747  df-evl1 19875  df-cnfld 19941  df-mdeg 24006  df-deg1 24007  df-mon1 24081  df-uc1p 24082  df-q1p 24083  df-r1p 24084
This theorem is referenced by:  idomsubgmo  38270
  Copyright terms: Public domain W3C validator