Theorem idmot 25653

Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
idmot	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motgrp.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		f1oi 6337	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃)
4		fvresi 6605	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
5	4	ad2antrl 766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
6		fvresi 6605	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
7	6	ad2antll 767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
8	5, 7	oveq12d 6833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
9	8	ralrimivva 3110	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
10		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	10, 11	ismot 25651	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	biimpar 503	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	1, 3, 9, 13	syl12anc 1475	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051   I cid 5174   ↾ cres 5269  –1-1-onto→wf1o 6049  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  distcds 16173  Ismtcismt 25648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-map 8028  df-ismt 25649

This theorem is referenced by:  motgrp  25659