Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlimc 40176
Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idlimc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
idlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝑥)
idlimc.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
idlimc (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem idlimc
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlimc.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4 idlimc.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑥𝐴𝑥)
54fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
63, 3, 5syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
76oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) − 𝑋) = (𝑥𝑋))
87fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥𝑋)))
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥𝑋)))
10 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤)
119, 10eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
1211adantrl 752 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
1312ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
1413adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
1514ralrimiva 2995 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝐴 ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
16 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑧𝑥
17 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑧𝑋
1816, 17nfne 2923 . . . . . . . 8 𝑧 𝑥𝑋
19 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑧(abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤
2018, 19nfan 1868 . . . . . . 7 𝑧(𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤)
21 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤
2220, 21nfim 1865 . . . . . 6 𝑧((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
23 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑥(𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤)
24 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥abs
25 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥𝐴𝑥)
264, 25nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
27 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧
2826, 27nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐹𝑧)
29 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥
30 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋
3128, 29, 30nfov 6716 . . . . . . . . 9 𝑥((𝐹𝑧) − 𝑋)
3224, 31nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑥(abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋))
33 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥 <
34 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥𝑤
3532, 33, 34nfbr 4732 . . . . . . 7 𝑥(abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤
3623, 35nfim 1865 . . . . . 6 𝑥((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)
37 neeq1 2885 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑋𝑧𝑋))
38 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑋) = (𝑧𝑋))
3938fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝑥𝑋)) = (abs‘(𝑧𝑋)))
4039breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤))
4137, 40anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) ↔ (𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤)))
42 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
4342oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) − 𝑋) = ((𝐹𝑧) − 𝑋))
4443fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)))
4544breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
4641, 45imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
4722, 36, 46cbvral 3197 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ((𝑥𝑋 ∧ (abs‘(𝑥𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
4815, 47sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
49 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → ((abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤))
5049anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤)))
5150imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
5251ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
5352rspcev 3340 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
542, 48, 53syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
5554ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
56 idlimc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
5756sselda 3636 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
5857, 4fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
5958, 56, 1ellimc3 23688 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝑋 ∧ (abs‘(𝑧𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))))
601, 55, 59mpbir2and 977 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   < clt 10112  cmin 10304  +crp 11870  abscabs 14018   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675
This theorem is referenced by:  fourierdlem53  40694  fourierdlem60  40701  fourierdlem61  40702  fourierdlem73  40714  fourierdlem74  40715  fourierdlem75  40716  fourierdlem76  40717
  Copyright terms: Public domain W3C validator