Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlaut 35903
 Description: The identity function is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idlaut.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
idlaut.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
idlaut (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem idlaut
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6336 . . 3 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
21a1i 11 . 2 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵)
3 fvresi 6604 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
4 fvresi 6604 . . . . . 6 (𝑦𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
53, 4breqan12d 4820 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦) ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
65bicomd 213 . . . 4 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
76rgen2a 3115 . . 3 𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦))
87a1i 11 . 2 (𝐾𝐴 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
9 idlaut.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 eqid 2760 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11 idlaut.i . . 3 𝐼 = (LAut‘𝐾)
129, 10, 11islaut 35890 . 2 (𝐾𝐴 → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))))
132, 8, 12mpbir2and 995 1 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   class class class wbr 4804   I cid 5173   ↾ cres 5268  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  LAutclaut 35792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-laut 35796 This theorem is referenced by:  idldil  35921
 Copyright terms: Public domain W3C validator