MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfhmeo 22789
Description: The defined bijection from [0, 1) to [0, +∞) is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
icopnfhmeo.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
icopnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
21icopnfcnv 22788 . . . 4 (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
32simpli 473 . . 3 𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞)
4 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
65rexri 10135 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
7 elico2 12275 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1)))
84, 6, 7mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1))
98simp1bi 1096 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
109ssriv 3640 . . . . . . . 8 (0[,)1) ⊆ ℝ
1110sseli 3632 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
13 elico2 12275 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < 1)))
144, 6, 13mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < 1))
1514simp3bi 1098 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 < 1)
1610sseli 3632 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
17 difrp 11906 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑤 < 1 ↔ (1 − 𝑤) ∈ ℝ+))
1816, 5, 17sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (𝑤 < 1 ↔ (1 − 𝑤) ∈ ℝ+))
1915, 18mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑤) ∈ ℝ+)
2019rpregt0d 11916 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (0[,)1) → ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤)))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤)))
2216adantl 481 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
23 elico2 12275 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < 1)))
244, 6, 23mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < 1))
2524simp3bi 1098 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 < 1)
26 difrp 11906 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℝ+))
2711, 5, 26sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (𝑧 < 1 ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℝ+))
2825, 27mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ+)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ+)
3029rpregt0d 11916 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((1 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑧)))
31 lt2mul2div 10939 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑧)))) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
3212, 21, 22, 30, 31syl22anc 1367 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
3312, 22remulcld 10108 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℝ)
3412, 22, 33ltsub1d 10674 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)) < (𝑤 − (𝑧 · 𝑤))))
3512recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
36 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 1 ∈ ℂ)
3722recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
3835, 36, 37subdid 10524 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · (1 − 𝑤)) = ((𝑧 · 1) − (𝑧 · 𝑤)))
3935mulid1d 10095 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
4039oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · 1) − (𝑧 · 𝑤)) = (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)))
4138, 40eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · (1 − 𝑤)) = (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)))
4237, 36, 35subdid 10524 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · (1 − 𝑧)) = ((𝑤 · 1) − (𝑤 · 𝑧)))
4337mulid1d 10095 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · 1) = 𝑤)
4437, 35mulcomd 10099 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · 𝑧) = (𝑧 · 𝑤))
4543, 44oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑤 · 1) − (𝑤 · 𝑧)) = (𝑤 − (𝑧 · 𝑤)))
4642, 45eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · (1 − 𝑧)) = (𝑤 − (𝑧 · 𝑤)))
4741, 46breq12d 4698 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)) < (𝑤 − (𝑧 · 𝑤))))
4834, 47bitr4d 271 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧))))
49 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
50 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑧))
5149, 50oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
52 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ V
5351, 1, 52fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (𝐹𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
54 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
55 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑤))
5654, 55oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
57 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑤 / (1 − 𝑤)) ∈ V
5856, 1, 57fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (𝐹𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
5953, 58breqan12d 4701 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑤) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
6032, 48, 593bitr4d 300 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
6160rgen2a 3006 . . 3 𝑧 ∈ (0[,)1)∀𝑤 ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))
62 df-isom 5935 . . 3 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ (0[,)1)∀𝑤 ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))))
633, 61, 62mpbir2an 975 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
64 letsr 17274 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
6564elexi 3244 . . . . 5 ≤ ∈ V
6665inex1 4832 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) ∈ V
6765inex1 4832 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ V
68 icossxr 12296 . . . . . . . 8 (0[,)1) ⊆ ℝ*
69 icossxr 12296 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
70 leiso 13281 . . . . . . . 8 (((0[,)1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))))
7168, 69, 70mp2an 708 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7263, 71mpbi 220 . . . . . 6 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))
73 isores1 6624 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7472, 73mpbi 220 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))
75 isores2 6623 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞)))
7674, 75mpbi 220 . . . 4 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))
77 tsrps 17268 . . . . . . . 8 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
7864, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 ≤ ∈ PosetRel
79 ledm 17271 . . . . . . . 8 * = dom ≤
8079psssdm 17263 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,)1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) = (0[,)1))
8178, 68, 80mp2an 708 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) = (0[,)1)
8281eqcomi 2660 . . . . 5 (0[,)1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1)))
8379psssdm 17263 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = (0[,)+∞))
8478, 69, 83mp2an 708 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = (0[,)+∞)
8584eqcomi 2660 . . . . 5 (0[,)+∞) = dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
8682, 85ordthmeo 21653 . . . 4 ((( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))))
8766, 67, 76, 86mp3an 1464 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
88 icopnfhmeo.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
89 eqid 2651 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
9088, 89xrrest2 22658 . . . . . 6 ((0[,)1) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)1)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1)))
9110, 90ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t (0[,)1)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1))
92 iccssico2 12285 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,)1))
9368, 92ordtrestixx 21074 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))
9491, 93eqtri 2673 . . . 4 (𝐽t (0[,)1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))
95 rge0ssre 12318 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9688, 89xrrest2 22658 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t (0[,)+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞))
98 iccssico2 12285 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,)+∞))
9969, 98ordtrestixx 21074 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
10097, 99eqtri 2673 . . . 4 (𝐽t (0[,)+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
10194, 100oveq12i 6702 . . 3 ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
10287, 101eleqtrri 2729 . 2 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞)))
10363, 102pm3.2i 470 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  +crp 11870  [,)cico 12215  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ordTopcordt 16206  PosetRelcps 17245   TosetRel ctsr 17246  fldccnfld 19794  Homeochmeo 21604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  22791
  Copyright terms: Public domain W3C validator