Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icoopnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopnst 22959
 Description: A half-open interval starting at 𝐴 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
icoopnst.1 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
Assertion
Ref Expression
icoopnst ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem icoopnst
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooretop 22790 . . . . 5 ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
2 simp1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ))
4 ltm1 11075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
54adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) < 𝐴)
6 peano2rem 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
76adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
8 ltletr 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
983expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
107, 9mpancom 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
115, 10mpand 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴𝑣 → (𝐴 − 1) < 𝑣))
1211impr 650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
13123adantr3 1177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
1413ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
1514ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
16 simp3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶)
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶))
183, 15, 173jcad 1124 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
19 simp2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝐴𝑣)
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝐴𝑣))
21 rexr 10297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 elioc2 12449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
2321, 22sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
2423biimpa 502 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
25 ltleletr 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
26253expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
2726an31s 883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
2827imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝑣 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝑣𝐵)
2928ancom2s 879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝐵𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
3029an4s 904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
31303adantr2 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
3231ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3332anasss 682 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
34333adantr2 1176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3534adantll 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3624, 35syldan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
373, 20, 363jcad 1124 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
3818, 37jcad 556 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
39 simpl1 1228 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40 simpr2 1236 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝐴𝑣)
41 simpl3 1232 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 < 𝐶)
4239, 40, 413jca 1123 . . . . . . . 8 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶))
4338, 42impbid1 215 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
44 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4524simp1d 1137 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4645rexrd 10301 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
47 elico2 12450 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)))
4844, 46, 47syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)))
49 elin 3939 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
506rexrd 10301 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
52 elioo2 12429 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
5351, 46, 52syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
54 elicc2 12451 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5554adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5653, 55anbi12d 749 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
5749, 56syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
5843, 48, 573bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ 𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
5958eqrdv 2758 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
60 ineq1 3950 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝐴 − 1)(,)𝐶) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6160eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑣 = ((𝐴 − 1)(,)𝐶) → ((𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6261rspcev 3449 . . . . 5 ((((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
631, 59, 62sylancr 698 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
64 retop 22786 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
65 ovex 6842 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ V
66 elrest 16310 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6764, 65, 66mp2an 710 . . . 4 ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6863, 67sylibr 224 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
69 iccssre 12468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7069adantr 472 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
71 eqid 2760 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
72 icoopnst.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
7371, 72resubmet 22826 . . . 4 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7470, 73syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7568, 74eleqtrrd 2842 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)
7675ex 449 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ran crn 5267   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  1c1 10149  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  (,)cioo 12388  (,]cioc 12389  [,)cico 12390  [,]cicc 12391  abscabs 14193   ↾t crest 16303  topGenctg 16320  MetOpencmopn 19958  Topctop 20920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator