MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icomnfordt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icomnfordt 21193
Description: An unbounded above open interval is open in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
icomnfordt (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem icomnfordt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . . . . . . . 9 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2 eqid 2748 . . . . . . . . 9 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3 eqid 2748 . . . . . . . . 9 ran (,) = ran (,)
41, 2, 3leordtval 21190 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
5 letop 21183 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
64, 5eqeltrri 2824 . . . . . . 7 (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
7 tgclb 20947 . . . . . . 7 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
86, 7mpbir 221 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
9 bastg 20943 . . . . . 6 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases → ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
1110, 4sseqtr4i 3767 . . . 4 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
12 ssun1 3907 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ⊆ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))
13 ssun2 3908 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
14 eqid 2748 . . . . . . . 8 (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)
15 oveq2 6809 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)𝐴))
1615eqeq2d 2758 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)))
1716rspcev 3437 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
1814, 17mpan2 709 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
19 eqid 2748 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
20 ovex 6829 . . . . . . . 8 (-∞[,)𝑥) ∈ V
2119, 20elrnmpti 5519 . . . . . . 7 ((-∞[,)𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
2218, 21sylibr 224 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
2313, 22sseldi 3730 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
2412, 23sseldi 3730 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
2511, 24sseldi 3730 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
2625adantl 473 . 2 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
27 df-ico 12345 . . . . . 6 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
2827ixxf 12349 . . . . 5 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
2928fdmi 6201 . . . 4 dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
3029ndmov 6971 . . 3 (¬ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) = ∅)
31 0opn 20882 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ ))
325, 31ax-mp 5 . . 3 ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ )
3330, 32syl6eqel 2835 . 2 (¬ (-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3426, 33pm2.61i 176 1 (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wrex 3039  cun 3701  wss 3703  c0 4046  𝒫 cpw 4290  cmpt 4869   × cxp 5252  ran crn 5255  cfv 6037  (class class class)co 6801  +∞cpnf 10234  -∞cmnf 10235  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  (,)cioo 12339  (,]cioc 12340  [,)cico 12341  topGenctg 16271  ordTopcordt 16332  Topctop 20871  TopBasesctb 20922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8470  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-topgen 16277  df-ordt 16334  df-ps 17372  df-tsr 17373  df-top 20872  df-topon 20889  df-bases 20923
This theorem is referenced by:  xlimmnfvlem1  40530
  Copyright terms: Public domain W3C validator