MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icombl 23378
Description: A closed-below, open-above real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icombl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem icombl
StepHypRef Expression
1 uncom 3790 . . . . 5 ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
2 rexr 10123 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simplr 807 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10130 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
7 xrltle 12020 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
82, 7sylan 487 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
98imp 444 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
10 pnfge 12002 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
114, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
12 icoun 12334 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
133, 4, 6, 9, 11, 12syl32anc 1374 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
141, 13syl5eq 2697 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞))
15 ssun1 3809 . . . . . 6 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵))
1615, 14syl5sseq 3686 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
17 incom 3838 . . . . . 6 ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
18 icodisj 12335 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
195, 18mp3an3 1453 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
203, 4, 19syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
2117, 20syl5eq 2697 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅)
22 uneqdifeq 4090 . . . . 5 (((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2316, 21, 22syl2anc 694 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2414, 23mpbid 222 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵))
25 icombl1 23377 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
2625ad2antrr 762 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
27 xrleloe 12015 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
284, 6, 27syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
2911, 28mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
30 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
31 xrre2 12039 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3231expr 642 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
333, 4, 6, 30, 32syl31anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
3433orim1d 902 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
3529, 34mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
36 icombl1 23377 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
37 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
38 pnfge 12002 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
395, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 +∞ ≤ +∞
40 ico0 12259 . . . . . . . . . 10 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
415, 5, 40mp2an 708 . . . . . . . . 9 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
4239, 41mpbir 221 . . . . . . . 8 (+∞[,)+∞) = ∅
4337, 42syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
44 0mbl 23353 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
4543, 44syl6eqel 2738 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4636, 45jaoi 393 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4735, 46syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
48 difmbl 23357 . . . 4 (((𝐴[,)+∞) ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
4926, 47, 48syl2anc 694 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
5024, 49eqeltrrd 2731 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
51 ico0 12259 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
522, 51sylan 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
53 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
542adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
55 xrlenlt 10141 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5653, 54, 55syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5752, 56bitrd 268 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5857biimpar 501 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5958, 44syl6eqel 2738 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
6050, 59pm2.61dan 849 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  (class class class)co 6690  cr 9973  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,)cico 12215  volcvol 23278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280
This theorem is referenced by:  ioombl  23379  volicoff  40530  voliooicof  40531  icoresmbl  41078  hoiprodcl  41082  hoiprodcl3  41115  hoidmvcl  41117  hsphoidmvle2  41120  hsphoidmvle  41121  hoidmv1lelem1  41126  hoidmv1lelem2  41127  hoidmv1lelem3  41128  hoidifhspdmvle  41155  volicorege0  41172  ovolval5lem1  41187
  Copyright terms: Public domain W3C validator