Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoiccdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoiccdif 40068
Description: Left closed, right open interval gotten by a closed iterval taking away the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
icoiccdif ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem icoiccdif
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icossicc 12298 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
32sselda 3636 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 elico1 12256 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
54biimpa 500 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
65simp1d 1093 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
85simp3d 1095 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
9 xrltne 12032 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐵) → 𝐵𝑥)
106, 7, 8, 9syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵𝑥)
1110necomd 2878 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
1211neneqd 2828 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
13 velsn 4226 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
1412, 13sylnibr 318 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
153, 14eldifd 3618 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
1615ex 449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})))
1716ssrdv 3642 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
18 simpll 805 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19 simplr 807 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 eldifi 3765 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
21 eliccxr 40055 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2322adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2420adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25 elicc1 12257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2625adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2724, 26mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵))
2827simp2d 1094 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐴𝑥)
29 eldifsni 4353 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥𝐵)
3029necomd 2878 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝐵𝑥)
3130adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝐵𝑥)
3227simp3d 1095 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥𝐵)
33 xrleltne 12016 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥𝐵) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
3423, 19, 32, 33syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
3531, 34mpbird 247 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 < 𝐵)
3618, 19, 23, 28, 35elicod 12262 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
3736ex 449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)))
3837ssrdv 3642 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
3917, 38eqssd 3653 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,)cico 12215  [,]cicc 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ico 12219  df-icc 12220
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator