MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icogelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icogelb 12430
Description: An element of a left closed right open interval is larger or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
icogelb ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem icogelb
StepHypRef Expression
1 elico1 12423 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 simp2 1131 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶)
31, 2syl6bi 243 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶))
433impia 1109 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  [,)cico 12382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-xr 10280  df-ico 12386
This theorem is referenced by:  fprodge0  14930  fprodge1  14932  hgt750lemf  31071  xralrple2  40086  icoopn  40270  icogelbd  40303  fsumge0cl  40323  limcresioolb  40393  fourierdlem41  40882  fourierdlem43  40884  fourierdlem46  40886  fourierdlem48  40888  fouriersw  40965  sge0isum  41161  sge0ad2en  41165  sge0uzfsumgt  41178  sge0seq  41180  sge0reuz  41181  hoidmv1lelem2  41326  hoidmvlelem1  41329  hoidmvlelem2  41330  ovnhoilem1  41335  hspdifhsp  41350  hspmbllem2  41361  iinhoiicclem  41407
  Copyright terms: Public domain W3C validator