Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icodiamlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icodiamlt 14218
 Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodiamlt (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))

Proof of Theorem icodiamlt
StepHypRef Expression
1 rexr 10123 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 elico2 12275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
3 elico2 12275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)))
42, 3anbi12d 747 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
54biimpd 219 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
61, 5sylan2 490 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
7 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
87recnd 10106 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 10106 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
118, 10negsubdi2d 10446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵𝐴) = (𝐴𝐵))
129, 7resubcld 10496 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
13 simprl1 1126 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
1413, 7resubcld 10496 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
15 simprr1 1129 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 10496 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
17 simprl2 1127 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴𝐶)
189, 13, 7, 17lesub1dd 10681 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐵))
19 simprr3 1131 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 < 𝐵)
2015, 7, 13, 19ltsub2dd 10678 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐵) < (𝐶𝐷))
2112, 14, 16, 18, 20lelttrd 10233 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) < (𝐶𝐷))
2211, 21eqbrtrd 4707 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵𝐴) < (𝐶𝐷))
237, 15resubcld 10496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
247, 9resubcld 10496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
25 simprl3 1128 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
2613, 7, 15, 25ltsub1dd 10677 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) < (𝐵𝐷))
27 simprr2 1130 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴𝐷)
289, 15, 7, 27lesub2dd 10682 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐷) ≤ (𝐵𝐴))
2916, 23, 24, 26, 28ltletrd 10235 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) < (𝐵𝐴))
3016, 24absltd 14212 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → ((abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴) ↔ (-(𝐵𝐴) < (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) < (𝐵𝐴))))
3122, 29, 30mpbir2and 977 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))
3231ex 449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴)))
336, 32syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴)))
3433imp 444 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305  [,)cico 12215  abscabs 14018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020 This theorem is referenced by:  irrapxlem2  37704  hoiqssbllem2  41158
 Copyright terms: Public domain W3C validator