Theorem ico01fl0 12827

Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 12902 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ico01fl0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10241	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	2	rexri 10298	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
4		icossre 12458	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 664	. . 3 ⊢ (0[,)1) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3746	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		0xr 10287	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		elico1 12422	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
9	7, 3, 8	mp2an 664	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1))
10	9	simp2bi 1139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
11	9	simp3bi 1140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
12		recn 10227	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	addid2d 10438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(0 + 𝐴)) = (⌊‘𝐴))
15	14	eqeq1d 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
16		0z 11589	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		flbi2 12825	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
18	16, 17	mpan 662	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
19	15, 18	bitr3d 270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
20	19	biimpar 463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
21	6, 10, 11, 20	syl12anc 1473	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  ℝ^*cxr 10274   < clt 10275   ≤ cle 10276  ℤcz 11578  [,)cico 12381  ⌊cfl 12798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-ico 12385  df-fl 12800

This theorem is referenced by:  dnizeq0  32796  dignnld  42915  digexp  42919