Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccvonmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccvonmbllem 41406
 Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccvonmbllem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbllem.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbllem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
iccvonmbllem.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iccvonmbllem (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑆,𝑛   𝑖,𝑋,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbllem
StepHypRef Expression
1 iccvonmbllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))))
3 iccvonmbllem.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
43adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
54mptexd 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))) ∈ V)
62, 5fvmpt2d 6435 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
7 iccvonmbllem.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
87ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
98adantlr 686 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
10 nnrecre 11258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11resubcld 10659 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
136, 12fvmpt2d 6435 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
1413an32s 623 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
15 iccvonmbllem.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))))
174mptexd 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1816, 17fvmpt2d 6435 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
19 iccvonmbllem.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
2120adantlr 686 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
2221, 11readdcld 10270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
2318, 22fvmpt2d 6435 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑛)‘𝑖) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
2423an32s 623 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)‘𝑖) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
2514, 24oveq12d 6810 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
2625iineq2dv 4675 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
278, 20iooiinicc 40281 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) = ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
2826, 27eqtrd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
2928ixpeq2dva 8076 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
3029eqcomd 2776 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
31 eqidd 2771 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
32 nnn0 40105 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
34 ixpiin 8087 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
3630, 31, 353eqtr3d 2812 . 2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
37 iccvonmbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
383, 37dmovnsal 41340 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
39 nnct 12987 . . . 4 ℕ ≼ ω
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
41 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
4212, 41fmptd 6527 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
43 ressxr 10284 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ⊆ ℝ*)
4542, 44fssd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
466feq1d 6170 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
4745, 46mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ*)
48 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
4922, 48fmptd 6527 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
5049, 44fssd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
5118feq1d 6170 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
5250, 51mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛):𝑋⟶ℝ*)
534, 37, 47, 52ioovonmbl 41405 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
5438, 40, 33, 53saliincl 41056 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
5536, 54eqeltrd 2849 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  Vcvv 3349   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  ∩ ciin 4653   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  dom cdm 5249  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ωcom 7211  Xcixp 8061   ≼ cdom 8106  Fincfn 8108  ℝcr 10136  1c1 10138   + caddc 10140  ℝ*cxr 10274   − cmin 10467   / cdiv 10885  ℕcn 11221  (,)cioo 12379  [,]cicc 12382  volncvoln 41266 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-ac2 9486  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-ac 9138  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-prod 14842  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-field 18959  df-subrg 18987  df-abv 19026  df-staf 19054  df-srng 19055  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lmhm 19234  df-lvec 19315  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-refld 20167  df-phl 20187  df-dsmm 20292  df-frlm 20307  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cmp 21410  df-xms 22344  df-ms 22345  df-nm 22606  df-ngp 22607  df-tng 22608  df-nrg 22609  df-nlm 22610  df-clm 23081  df-cph 23186  df-tch 23187  df-rrx 23391  df-ovol 23451  df-vol 23452  df-salg 41040  df-sumge0 41091  df-mea 41178  df-ome 41218  df-caragen 41220  df-ovoln 41265  df-voln 41267 This theorem is referenced by:  iccvonmbl  41407
 Copyright terms: Public domain W3C validator