Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccvonmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccvonmbllem 41406
Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccvonmbllem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbllem.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbllem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
iccvonmbllem.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iccvonmbllem (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑆,𝑛   𝑖,𝑋,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbllem
StepHypRef Expression
1 iccvonmbllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))))
3 iccvonmbllem.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
43adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
54mptexd 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))) ∈ V)
62, 5fvmpt2d 6435 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
7 iccvonmbllem.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
87ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
98adantlr 686 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
10 nnrecre 11258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11resubcld 10659 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
136, 12fvmpt2d 6435 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
1413an32s 623 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
15 iccvonmbllem.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))))
174mptexd 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1816, 17fvmpt2d 6435 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
19 iccvonmbllem.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
2120adantlr 686 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
2221, 11readdcld 10270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
2318, 22fvmpt2d 6435 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑛)‘𝑖) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
2423an32s 623 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)‘𝑖) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
2514, 24oveq12d 6810 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
2625iineq2dv 4675 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
278, 20iooiinicc 40281 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) = ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
2826, 27eqtrd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
2928ixpeq2dva 8076 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
3029eqcomd 2776 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
31 eqidd 2771 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
32 nnn0 40105 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
34 ixpiin 8087 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
3630, 31, 353eqtr3d 2812 . 2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
37 iccvonmbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
383, 37dmovnsal 41340 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
39 nnct 12987 . . . 4 ℕ ≼ ω
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
41 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
4212, 41fmptd 6527 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
43 ressxr 10284 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ⊆ ℝ*)
4542, 44fssd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
466feq1d 6170 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
4745, 46mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ*)
48 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
4922, 48fmptd 6527 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
5049, 44fssd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
5118feq1d 6170 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
5250, 51mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛):𝑋⟶ℝ*)
534, 37, 47, 52ioovonmbl 41405 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
5438, 40, 33, 53saliincl 41056 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
5536, 54eqeltrd 2849 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  Vcvv 3349  wss 3721  c0 4061   ciin 4653   class class class wbr 4784  cmpt 4861  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  ωcom 7211  Xcixp 8061  cdom 8106  Fincfn 8108  cr 10136  1c1 10138   + caddc 10140  *cxr 10274  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  (,)cioo 12379  [,]cicc 12382  volncvoln 41266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-ac2 9486  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-ac 9138  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-prod 14842  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-field 18959  df-subrg 18987  df-abv 19026  df-staf 19054  df-srng 19055  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lmhm 19234  df-lvec 19315  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-refld 20167  df-phl 20187  df-dsmm 20292  df-frlm 20307  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cmp 21410  df-xms 22344  df-ms 22345  df-nm 22606  df-ngp 22607  df-tng 22608  df-nrg 22609  df-nlm 22610  df-clm 23081  df-cph 23186  df-tch 23187  df-rrx 23391  df-ovol 23451  df-vol 23452  df-salg 41040  df-sumge0 41091  df-mea 41178  df-ome 41218  df-caragen 41220  df-ovoln 41265  df-voln 41267
This theorem is referenced by:  iccvonmbl  41407
  Copyright terms: Public domain W3C validator