Theorem iccvolcl 23554

Description: A closed real interval has finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccvolcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem iccvolcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccmbl 23553	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
2		mblvol 23517	. . 3 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
4		rexr 10286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		rexr 10286	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		icc0 12427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2an 575	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
8	7	biimpar 463	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
9		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘∅))
10		ovol0 23480	. . . . . 6 ⊢ (vol*‘∅) = 0
11	9, 10	syl6eq 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = 0)
12		0re 10241	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	11, 12	syl6eqel 2857	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) = ∅ → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
14	8, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
15		ovolicc 23510	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
16	15	3expa 1110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
17		resubcl 10546	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
18	17	ancoms 455	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
19	18	adantr 466	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	16, 19	eqeltrd 2849	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
21		simpr 471	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpl 468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	14, 20, 21, 22	ltlecasei 10346	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
24	3, 23	eqeltrd 2849	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∅c0 4061   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  0cc0 10137  ℝ^*cxr 10274   < clt 10275   ≤ cle 10276   − cmin 10467  [,]cicc 12382  vol*covol 23449  volcvol 23450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cmp 21410  df-ovol 23451  df-vol 23452

This theorem is referenced by:  volcn  23593  mbfi1fseqlem4  23704  cniccibl  23826  ftc1lem4  24021  cnicciblnc  33806  ftc1cnnclem  33808  fourierdlem87  40921