Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccssred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccssred 40248
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iccssred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iccssred.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iccssred (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssred
StepHypRef Expression
1 iccssred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 iccssred.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12468 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  wss 3715  (class class class)co 6814  cr 10147  [,]cicc 12391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-icc 12395
This theorem is referenced by:  iccshift  40265  eliccelioc  40268  limciccioolb  40374  limcicciooub  40390  icccncfext  40621  cncfiooicclem1  40627  dvmptresicc  40655  itgcoscmulx  40706  ibliooicc  40708  itgsincmulx  40711  itgsubsticclem  40712  itgiccshift  40717  itgperiod  40718  itgsbtaddcnst  40719  dirkeritg  40840  fourierdlem20  40865  fourierdlem25  40870  fourierdlem39  40884  fourierdlem40  40885  fourierdlem42  40887  fourierdlem46  40890  fourierdlem50  40894  fourierdlem51  40895  fourierdlem52  40896  fourierdlem54  40898  fourierdlem58  40902  fourierdlem64  40908  fourierdlem68  40912  fourierdlem73  40917  fourierdlem74  40918  fourierdlem75  40919  fourierdlem76  40920  fourierdlem78  40922  fourierdlem79  40923  fourierdlem80  40924  fourierdlem81  40925  fourierdlem84  40928  fourierdlem88  40932  fourierdlem89  40933  fourierdlem90  40934  fourierdlem91  40935  fourierdlem100  40944  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  fourierdlem107  40951  fourierdlem111  40955  fourierdlem112  40956  etransclem18  40990  etransclem46  41018  rrxsnicc  41041  hoidmv1lelem1  41329  hoidmv1lelem3  41331  hoidmvlelem1  41333  hoidmvlelem2  41334  hoidmvlelem4  41336
  Copyright terms: Public domain W3C validator