MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccssre 12293
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccssre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc2 12276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
21biimp3a 1472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
32simp1d 1093 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
433expia 1286 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
54ssrdv 3642 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  cle 10113  [,]cicc 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-icc 12220
This theorem is referenced by:  iccsupr  12304  iccsplit  12343  iccshftri  12345  iccshftli  12347  iccdili  12349  icccntri  12351  unitssre  12357  supicc  12358  supiccub  12359  supicclub  12360  icccld  22617  iccntr  22671  icccmplem2  22673  icccmplem3  22674  icccmp  22675  retopconn  22679  iccconn  22680  cnmpt2pc  22774  iihalf1cn  22778  iihalf2cn  22780  icoopnst  22785  iocopnst  22786  icchmeo  22787  xrhmeo  22792  icccvx  22796  cnheiborlem  22800  htpycc  22826  pcocn  22863  pcohtpylem  22865  pcopt  22868  pcopt2  22869  pcoass  22870  pcorevlem  22872  ivthlem2  23267  ivthlem3  23268  ivthicc  23273  evthicc  23274  ovolficcss  23284  ovolicc1  23330  ovolicc2  23336  ovolicc  23337  iccmbl  23380  ovolioo  23382  dyadss  23408  volcn  23420  volivth  23421  vitalilem2  23423  vitalilem4  23425  mbfimaicc  23445  mbfi1fseqlem4  23530  itgioo  23627  rollelem  23797  rolle  23798  cmvth  23799  mvth  23800  dvlip  23801  c1liplem1  23804  c1lip1  23805  c1lip3  23807  dvgt0lem1  23810  dvgt0lem2  23811  dvgt0  23812  dvlt0  23813  dvge0  23814  dvle  23815  dvivthlem1  23816  dvivth  23818  dvne0  23819  lhop1lem  23821  dvcvx  23828  dvfsumle  23829  dvfsumge  23830  dvfsumabs  23831  ftc1lem1  23843  ftc1a  23845  ftc1lem4  23847  ftc1lem5  23848  ftc1lem6  23849  ftc1  23850  ftc1cn  23851  ftc2  23852  ftc2ditglem  23853  ftc2ditg  23854  itgparts  23855  itgsubstlem  23856  aalioulem3  24134  reeff1olem  24245  efcvx  24248  pilem3  24252  pige3  24314  sinord  24325  recosf1o  24326  resinf1o  24327  efif1olem4  24336  asinrecl  24674  acosrecl  24675  emre  24777  pntlem3  25343  ttgcontlem1  25810  signsply0  30756  iblidicc  30798  ftc2re  30804  iccsconn  31356  iccllysconn  31358  cvmliftlem10  31402  ivthALT  32455  sin2h  33529  cos2h  33530  mblfinlem2  33577  ftc1cnnclem  33613  ftc1cnnc  33614  ftc1anclem7  33621  ftc1anc  33623  ftc2nc  33624  areacirclem2  33631  areacirclem3  33632  areacirclem4  33633  areacirc  33635  iccbnd  33769  icccmpALT  33770  itgpowd  38117  arearect  38118  areaquad  38119  lhe4.4ex1a  38845  lefldiveq  39819  iccssred  40045  itgsin0pilem1  40483  ibliccsinexp  40484  iblioosinexp  40486  itgsinexplem1  40487  itgsinexp  40488  iblspltprt  40507  fourierdlem5  40647  fourierdlem9  40651  fourierdlem18  40660  fourierdlem24  40666  fourierdlem62  40703  fourierdlem66  40707  fourierdlem74  40715  fourierdlem75  40716  fourierdlem83  40724  fourierdlem87  40728  fourierdlem93  40734  fourierdlem95  40736  fourierdlem102  40743  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem112  40753  fourierdlem114  40755  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764
  Copyright terms: Public domain W3C validator