Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccshift 40260
Description: A closed interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshift.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iccshift.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iccshift.3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iccshift (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iccshift
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2775 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
21rexbidv 3200 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
32elrab 3515 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4 simprr 756 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5 nfv 1995 . . . . . . . 8 𝑧𝜑
6 nfv 1995 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7 nfre1 3153 . . . . . . . . 9 𝑧𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
86, 7nfan 1980 . . . . . . . 8 𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
95, 8nfan 1980 . . . . . . 7 𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))
11 simp3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12 iccshift.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 iccshift.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1412, 13iccssred 40245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1514sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
16 iccshift.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 10275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
1912adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2113adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 elicc2 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
2319, 21, 22syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
2420, 23mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
2524simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑧)
2619, 15, 17, 25leadd1dd 10847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇))
2724simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝐵)
2815, 21, 17, 27leadd1dd 10847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
2918, 26, 283jca 1122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
30293adant3 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
3112, 16readdcld 10275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
32313ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
3313, 16readdcld 10275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
35 elicc2 12443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3632, 34, 35syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3730, 36mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
3811, 37eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
39383exp 1112 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
4039adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
419, 10, 40rexlimd 3174 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
424, 41mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
433, 42sylan2b 581 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
4431adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
4533adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
46 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
47 eliccre 40246 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4844, 45, 46, 47syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948recnd 10274 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
5012adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5113adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5216adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
5348, 52resubcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
5412recnd 10274 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5516recnd 10274 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5654, 55pncand 10599 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
5756eqcomd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
5857adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
59 elicc2 12443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
6044, 45, 59syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
6146, 60mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
6261simp2d 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
6344, 48, 52, 62lesub1dd 10849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
6458, 63eqbrtrd 4809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
6561simp3d 1138 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
6648, 45, 52, 65lesub1dd 10849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
6713recnd 10274 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
6867, 55pncand 10599 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
6968adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
7066, 69breqtrd 4813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
7150, 51, 53, 64, 70eliccd 40244 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7255adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
7349, 72npcand 10602 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
7473eqcomd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
75 oveq1 6803 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
7675eqeq2d 2781 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)))
7776rspcev 3460 . . . . . 6 (((𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
7871, 74, 77syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
7949, 78, 3sylanbrc 572 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
8043, 79impbida 802 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
8180eqrdv 2769 . 2 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
8281eqcomd 2777 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  {crab 3065   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141   + caddc 10145  cle 10281  cmin 10472  [,]cicc 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-icc 12387
This theorem is referenced by:  itgiccshift  40710  itgperiod  40711
  Copyright terms: Public domain W3C validator