Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartnel 41138
 Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 40099 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartnel.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartnel.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
iccpartnel.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑃)
Assertion
Ref Expression
iccpartnel ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))

Proof of Theorem iccpartnel
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioo3g 12189 . . 3 (𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
2 iccpartnel.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑃)
3 iccpartnel.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4 iccpartnel.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5 iccpart 41116 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
7 elmapfn 7865 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
96, 8syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
103, 9mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 Fn (0...𝑀))
11 fvelrnb 6230 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋))
132, 12mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋)
14 elfzelz 12327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514zred 11467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 elfzoelz 12454 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
1817zred 11467 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
19 lelttric 10129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼𝐼 < 𝑥))
2016, 18, 19syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼𝐼 < 𝑥))
21 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < 𝑋))
22 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ 𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
2321, 22anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
24 leloe 10109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼)))
2516, 18, 24syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼)))
264, 3iccpartgt 41127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)))
29 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ (0...𝑀))
30 elfzofz 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
31 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 < 𝑘𝑥 < 𝑘))
32 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑥))
3332breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘)))
3431, 33imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝑘 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘))))
35 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝐼 → (𝑥 < 𝑘𝑥 < 𝐼))
36 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 𝐼 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝐼))
3736breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)))
3835, 37imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥 < 𝑘 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝑘)) ↔ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
3934, 38rspc2v 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
4029, 30, 39syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))))
4128, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)))
42 pm3.35 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))) → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))
434adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
4543, 44, 29iccpartxr 41119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ*)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ*)
47 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃𝐼) ∈ ℝ*)
48 xrltle 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼)))
4946, 47, 48syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼)))
50 xrlenlt 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐼) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼) ↔ ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5146, 47, 50syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝐼) ↔ ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5249, 51sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5352ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))))
5453com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))))
5554imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
5655imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥))
5756pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
5857ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) ∧ ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
5958ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃𝑥) < (𝑃𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6042, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 < 𝐼 ∧ (𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6160ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 < 𝐼 → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
6261com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼 → (𝑃𝑥) < (𝑃𝐼)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
6341, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 < 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 < 𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
65 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
6665breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝐼 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼)))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼)))
68 xrltnr 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
69683ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ¬ (𝑃𝐼) < (𝑃𝐼))
7170pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝐼) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
7267, 71sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 = 𝐼 ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
7372ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
7473a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7564, 74jaoi 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 < 𝐼𝑥 = 𝐼) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7725, 76sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
7978com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8123, 80syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8281com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8382com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
8483impd 447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8584com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
8614adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
87 zltp1le 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
8817, 86, 87syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝑥))
8917peano2zd 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
9089zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
91 leloe 10109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
9290, 16, 91syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
9388, 92bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥)))
94 fzofzp1 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
95 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑘))
96 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
9796breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘)))
9895, 97imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘))))
99 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐼 + 1) < 𝑘 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑥))
100 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 𝑥 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑥))
101100breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
10299, 101imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑘 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑘)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10398, 102rspc2v 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10494, 29, 103syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑘 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑘)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))))
10528, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
106 pm3.35 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))
107 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
108 xrltnsym 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
10946, 107, 108syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)))
110109imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))
111110pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
112111expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ((((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
113112expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
114113adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
115114com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
116106, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∧ ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥))) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
117116ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
118117com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑥)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
119105, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
121 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝑥))
122121breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃𝐼) < (𝑃𝑥)))
123121breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))))
124122, 123anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
125 xrltnr 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
1261253ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)))
127126pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
129128adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃𝐼) < (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
130124, 129syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
131130com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
132131a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) = 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
133120, 132jaoi 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐼 + 1) < 𝑥 ∨ (𝐼 + 1) = 𝑥) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
13593, 134sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
136135com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
137136com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝐼) < (𝑃𝑥) ∧ (𝑃𝑥) < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
13823, 137syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
139138com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
140139com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 < 𝑥 → (((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))))
141140impd 447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 < 𝑥 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
142141com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 < 𝑥 → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14385, 142jaoi 394 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼𝐼 < 𝑥) → (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
144143com12 32 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥𝐼𝐼 < 𝑥) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14520, 144mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
146145ex 450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
147146com23 86 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑃𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
148147rexlimdva 3027 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑥) = 𝑋 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))))
14913, 148mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))))
150149imp 445 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
151150com12 32 . . 3 ((((𝑃𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝐼) < 𝑋𝑋 < (𝑃‘(𝐼 + 1)))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
1521, 151sylbi 207 . 2 (𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
153 ax-1 6 . 2 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))) → ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1)))))
154152, 153pm2.61i 176 1 ((𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑃𝐼)(,)(𝑃‘(𝐼 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ∃wrex 2910   class class class wbr 4644  ran crn 5105   Fn wfn 5871  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ↑𝑚 cmap 7842  ℝcr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  ℝ*cxr 10058   < clt 10059   ≤ cle 10060  ℕcn 11005  ℤcz 11362  (,)cioo 12160  ...cfz 12311  ..^cfzo 12449  RePartciccp 41113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-ioo 12164  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-iccp 41114 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator