Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartltu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartltu 41890
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower bound are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartltu (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartltu
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 0zd 11602 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
3 nnz 11612 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 nngt0 11262 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
52, 3, 43jca 1123 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
7 fzopred 41861 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
9 0p1e1 11345 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1110oveq1d 6830 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)..^𝑀) = (1..^𝑀))
1211uneq2d 3911 . . . . 5 (𝜑 → ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
138, 12eqtrd 2795 . . . 4 (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
1413eleq2d 2826 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀))))
15 elun 3897 . . . 4 (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)))
16 elsni 4339 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
17 fveq2 6354 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
1817adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
19 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
201, 19iccpartlt 41889 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2120adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2218, 21eqbrtrd 4827 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
2322ex 449 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2416, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
25 fveq2 6354 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
2625breq1d 4815 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2726rspccv 3447 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
281, 19iccpartiltu 41887 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀))
2927, 28syl11 33 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3024, 29jaoi 393 . . . . 5 ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3130com12 32 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3215, 31syl5bi 232 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3314, 32sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3433ralrimiv 3104 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  cun 3714  {csn 4322   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   < clt 10287  cn 11233  cz 11590  ..^cfzo 12680  RePartciccp 41878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-iccp 41879
This theorem is referenced by:  iccpartleu  41893
  Copyright terms: Public domain W3C validator