Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartlt 41866
Description: If there is a partition, then the lower bound is strictly less than the upper bound. Corresponds to fourierdlem11 40834 in GS's mathbox. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartlt (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))

Proof of Theorem iccpartlt
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 lbfzo0 12698 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
41, 3sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
5 iccpartimp 41859 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
61, 2, 4, 5syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
76simprd 482 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
87adantl 473 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
9 fveq2 6348 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘1))
10 1e0p1 11740 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1110fveq2i 6351 . . . . . 6 (𝑃‘1) = (𝑃‘(0 + 1))
129, 11syl6eq 2806 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(0 + 1)))
1312adantr 472 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(0 + 1)))
148, 13breqtrrd 4828 . . 3 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
1514ex 449 . 2 (𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
161, 2iccpartiltu 41864 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
171, 2iccpartigtl 41865 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
18 1nn 11219 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ ℕ)
201adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
21 df-ne 2929 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑀 = 1)
221nnge1d 11251 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
23 1red 10243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
241nnred 11223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2523, 24ltlend 10370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 ≠ 1)))
2625biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 ≤ 𝑀𝑀 ≠ 1) → 1 < 𝑀))
2722, 26mpand 713 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ≠ 1 → 1 < 𝑀))
2821, 27syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 1 < 𝑀))
2928imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 < 𝑀)
30 elfzo1 12708 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
3119, 20, 29, 30syl3anbrc 1429 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ (1..^𝑀))
32 fveq2 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘1))
3332breq2d 4812 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3433rspcv 3441 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3531, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3632breq1d 4810 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
3736rspcv 3441 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (1..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
3831, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
39 nnnn0 11487 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 0elfz 12626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
411, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
421, 2, 41iccpartxr 41861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
4342adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
442adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
45 1nn0 11496 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ ℕ0)
471, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4922adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ≤ 𝑀)
50 elfz2nn0 12620 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
5146, 48, 49, 50syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ (0...𝑀))
5220, 44, 51iccpartxr 41861 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘1) ∈ ℝ*)
53 nn0fz0 12627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
5439, 53sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
561, 2, 55iccpartxr 41861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
5756adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
58 xrlttr 12162 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘1) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) → (((𝑃‘0) < (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
5943, 52, 57, 58syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (((𝑃‘0) < (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6059expcomd 453 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ((𝑃‘1) < (𝑃𝑀) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6138, 60syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6261com23 86 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6335, 62syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6463ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))))
6564com24 95 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (¬ 𝑀 = 1 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))))
6616, 17, 65mp2d 49 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6766com12 32 . 2 𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6815, 67pm2.61i 176 1 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wral 3046   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  𝑚 cmap 8019  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127  *cxr 10261   < clt 10262  cle 10263  cn 11208  0cn0 11480  ...cfz 12515  ..^cfzo 12655  RePartciccp 41855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-iccp 41856
This theorem is referenced by:  iccpartltu  41867  iccpartgtl  41868  iccpartgt  41869
  Copyright terms: Public domain W3C validator