Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartiun 41898
Description: A half opened interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartiun (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) = 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartiun.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
2 iccpartiun.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 iccelpart 41897 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))))
4 fveq1 6331 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
5 fveq1 6331 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑀) = (𝑃𝑀))
64, 5oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) = ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
76eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
8 fveq1 6331 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑖) = (𝑃𝑖))
9 fveq1 6331 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
108, 9oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
1110eleq2d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
1211rexbidv 3200 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
137, 12imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
1413rspcva 3458 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))))) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
1514expcom 398 . . . . . 6 (∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
162, 3, 153syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
171, 16mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
18 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
19 0elfz 12644 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
212, 1, 20iccpartxr 41883 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 12645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
2322biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
242, 18, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
252, 1, 24iccpartxr 41883 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
2621, 25jca 501 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*))
2726adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*))
28 elfzofz 12693 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
292, 1iccpartgel 41893 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗))
30 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑖))
3130breq2d 4798 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
3231rspcva 3458 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
3328, 29, 32syl2anr 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
34 fzofzp1 12773 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
352, 1iccpartleu 41892 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑘) ≤ (𝑃𝑀))
36 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3736breq1d 4796 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃𝑘) ≤ (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3837rspcva 3458 . . . . . . . 8 (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑘) ≤ (𝑃𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))
3934, 35, 38syl2anr 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))
40 icossico 12448 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
4127, 33, 39, 40syl12anc 1474 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
4241sseld 3751 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
4342rexlimdva 3179 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
4417, 43impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45 eliun 4658 . . 3 (𝑥 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4644, 45syl6bbr 278 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) ↔ 𝑥 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4746eqrdv 2769 1 (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) = 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723   ciun 4654   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  *cxr 10275  cle 10277  cn 11222  0cn0 11494  [,)cico 12382  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  RePartciccp 41877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-iccp 41878
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator