Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgel 41792
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartgel (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11464 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 elnn0uz 11839 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42, 3sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5 fzpred 12503 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
76eleq2d 2789 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8 elun 3861 . . . . 5 (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10 velsn 4301 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12 0p1e1 11245 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1413oveq1d 6780 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
1514eleq2d 2789 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
1611, 15orbi12d 748 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
177, 9, 163bitrd 294 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18 iccpartgtprec.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19 0elfz 12551 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
211, 18, 20iccpartxr 41782 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22 xrleid 12097 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) ∈ ℝ* → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
24 fveq2 6304 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
2524breq2d 4772 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
2623, 25syl5ibr 236 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
271, 18iccpartgtl 41789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘))
28 fveq2 6304 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
2928breq2d 4772 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
3029rspccv 3410 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
3231imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
3321adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
341adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3518adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
36 1nn0 11421 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
38 elnn0uz 11839 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ‘0))
3937, 38sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ (ℤ‘0))
40 fzss1 12494 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
4241sselda 3709 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
4334, 35, 42iccpartxr 41782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ*)
44 xrltle 12096 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4533, 43, 44syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4632, 45mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
4746expcom 450 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4826, 47jaoi 393 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4948com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
5017, 49sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
5150ralrimiv 3067 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  cun 3678  wss 3680  {csn 4285   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cn 11133  0cn0 11405  cuz 11800  ...cfz 12440  RePartciccp 41776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-iccp 41777
This theorem is referenced by:  iccpartrn  41793  iccpartiun  41797  iccpartdisj  41800
  Copyright terms: Public domain W3C validator