Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartdisj 41883
 Description: The segments of a partitioned half opened interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartdisj (𝜑Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartdisj
Dummy variables 𝑗 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . . . . 5 𝑖𝜑
2 nfreu1 3248 . . . . 5 𝑖∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))
3 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝜑)
4 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
76adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8 nnnn0 11491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
9 0elfz 12630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
104, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
1110adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ (0...𝑀))
125, 7, 11iccpartxr 41865 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
13 nn0fz0 12631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
1413biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
154, 8, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
1615adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
175, 7, 16iccpartxr 41865 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
184, 6iccpartgel 41875 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗))
19 elfzofz 12679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2019adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑖))
2221breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2322rspcv 3445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2524ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))))
2618, 25mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2726imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
284, 6iccpartleu 41874 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀))
29 fzofzp1 12759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑃𝑗) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3231breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3332rspcv 3445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3534ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑗) ≤ (𝑃𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))))
3628, 35mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3736imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))
38 icossico 12436 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
3912, 17, 27, 37, 38syl22anc 1478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
4039sseld 3743 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
414, 6icceuelpart 41882 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
423, 40, 41syl6an 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4342ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
441, 2, 43rexlimd 3164 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45 rmo5 3301 . . . 4 (∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4644, 45sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4746alrimiv 2004 . 2 (𝜑 → ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
48 df-disj 4773 . 2 (Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∀𝑝∃*𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑝 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4947, 48sylibr 224 1 (𝜑Disj 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1630   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  ∃!wreu 3052  ∃*wrmo 3053   ⊆ wss 3715  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  ℝ*cxr 10265   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  [,)cico 12370  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  RePartciccp 41859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-iccp 41860 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator