Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccneg 12278
 Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iccneg ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))

Proof of Theorem iccneg
StepHypRef Expression
1 renegcl 10329 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
2 ax-1 6 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → (-𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
31, 2impbid2 216 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
433ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
5 ancom 466 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐴𝐶) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵))
6 leneg 10516 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
76ancoms 469 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
873adant1 1077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
9 leneg 10516 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
1093adant2 1078 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
118, 10anbi12d 746 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵𝐴𝐶) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
125, 11syl5bbr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
134, 12anbi12d 746 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵)) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
14 elicc2 12223 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
15143adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
16 3anass 1040 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
1715, 16syl6bb 276 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵))))
18 renegcl 10329 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
19 renegcl 10329 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
20 elicc2 12223 . . . . 5 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
2118, 19, 20syl2anr 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
22213adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
23 3anass 1040 . . 3 ((-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
2422, 23syl6bb 276 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
2513, 17, 243bitr4d 300 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  ℝcr 9920   ≤ cle 10060  -cneg 10252  [,]cicc 12163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-icc 12167 This theorem is referenced by:  xrhmeo  22726  dvivth  23754
 Copyright terms: Public domain W3C validator