MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccid 12258
Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccid (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem iccid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc1 12257 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
21anidms 678 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
3 xrlenlt 10141 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐴))
4 xrlenlt 10141 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
54ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
6 xrlttri3 12014 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
76biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
87ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
98expcomd 453 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝑥 → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 = 𝐴)))
105, 9sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 = 𝐴)))
1110com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 < 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)))
123, 11sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)))
1312ex 449 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴))))
14133impd 1303 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴))
15 eleq1a 2725 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝑥 ∈ ℝ*))
16 xrleid 12021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
17 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
1816, 17syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝐴𝑥))
19 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝐴𝐴))
2016, 19syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝑥𝐴))
2115, 18, 203jcad 1262 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
2214, 21impbid 202 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
23 velsn 4226 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
2422, 23syl6bbr 278 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
252, 24bitrd 268 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
2625eqrdv 2649 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {csn 4210   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,]cicc 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-icc 12220
This theorem is referenced by:  snunioo  12336  snunico  12337  snunioc  12338  prunioo  12339  icccmplem1  22672  ivthicc  23273  ioombl  23379  volivth  23421  mbfimasn  23446  itgspliticc  23648  dvivth  23818  cvmliftlem10  31402  mblfinlem2  33577  areacirc  33635  ioounsn  38112  iocinico  38114  iocmbl  38115  snunioo2  40049  snunioo1  40056  cncfiooicc  40425  vonsn  41226
  Copyright terms: Public domain W3C validator