MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icchmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icchmeo 22961
Description: The natural bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐵] is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icchmeo.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
icchmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
icchmeo ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icchmeo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icchmeo.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
2 iitopon 22903 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 icchmeo.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54dfii3 22907 . . . . . . . . 9 II = (𝐽t (0[,]1))
65oveq2i 6825 . . . . . . . 8 (II Cn II) = (II Cn (𝐽t (0[,]1)))
74cnfldtop 22808 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ Top
8 cnrest2r 21313 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t (0[,]1))) ⊆ (II Cn 𝐽))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (II Cn (𝐽t (0[,]1))) ⊆ (II Cn 𝐽)
106, 9eqsstri 3776 . . . . . . 7 (II Cn II) ⊆ (II Cn 𝐽)
113cnmptid 21686 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
1210, 11sseldi 3742 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn 𝐽))
134cnfldtopon 22807 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
15 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615recnd 10280 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
173, 14, 16cnmptc 21687 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐵) ∈ (II Cn 𝐽))
184mulcn 22891 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
203, 12, 17, 19cnmpt12f 21691 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝐵)) ∈ (II Cn 𝐽))
21 1cnd 10268 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
223, 14, 21cnmptc 21687 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ (II Cn 𝐽))
234subcn 22890 . . . . . . . 8 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
253, 22, 12, 24cnmpt12f 21691 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn 𝐽))
26 simp1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726recnd 10280 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
283, 14, 27cnmptc 21687 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ (II Cn 𝐽))
293, 25, 28, 19cnmpt12f 21691 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥) · 𝐴)) ∈ (II Cn 𝐽))
304addcn 22889 . . . . . 6 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
323, 20, 29, 31cnmpt12f 21691 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))) ∈ (II Cn 𝐽))
331, 32syl5eqel 2843 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
341iccf1o 12529 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)))))
3534simpld 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵))
36 f1of 6299 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) → 𝐹:(0[,]1)⟶(𝐴[,]𝐵))
37 frn 6214 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)⟶(𝐴[,]𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3835, 36, 373syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
39 iccssre 12468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40393adant3 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41 ax-resscn 10205 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4240, 41syl6ss 3756 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
43 cnrest2 21312 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))))
4414, 38, 42, 43syl3anc 1477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))))
4533, 44mpbid 222 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
4634simprd 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴))))
47 resttopon 21187 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
4813, 42, 47sylancr 698 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
49 cnrest2r 21313 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
507, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽)
5148cnmptid 21686 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sseldi 3742 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
5348, 14, 27cnmptc 21687 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
5448, 52, 53, 24cnmpt12f 21691 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦𝐴)) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
55 difrp 12081 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
5655biimp3a 1581 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
5756rpcnd 12087 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
5856rpne0d 12090 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ≠ 0)
594divccn 22897 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / (𝐵𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6057, 58, 59syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / (𝐵𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61 oveq1 6821 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝐴) → (𝑥 / (𝐵𝐴)) = ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)))
6248, 54, 14, 60, 61cnmpt11 21688 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴))) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
6346, 62eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
64 dfdm4 5471 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran 𝐹
6564eqimss2i 3801 . . . . . 6 ran 𝐹 ⊆ dom 𝐹
66 f1odm 6303 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) → dom 𝐹 = (0[,]1))
6735, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → dom 𝐹 = (0[,]1))
6865, 67syl5sseq 3794 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
69 unitssre 12532 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
7069a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0[,]1) ⊆ ℝ)
7170, 41syl6ss 3756 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
72 cnrest2 21312 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))))
7314, 68, 71, 72syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))))
7463, 73mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1))))
755oveq2i 6825 . . 3 ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II) = ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))
7674, 75syl6eleqr 2850 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II))
77 ishmeo 21784 . 2 (𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II)))
7845, 76, 77sylanbrc 701 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cmin 10478   / cdiv 10896  +crp 12045  [,]cicc 12391  t crest 16303  TopOpenctopn 16304  fldccnfld 19968  Topctop 20920  TopOnctopon 20937   Cn ccn 21250   ×t ctx 21585  Homeochmeo 21778  IIcii 22899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-ii 22901
This theorem is referenced by:  xrhmph  22967
  Copyright terms: Public domain W3C validator