Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icceuelpartlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icceuelpartlem 41696
 Description: Lemma for icceuelpart 41697. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
icceuelpartlem (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽))))

Proof of Theorem icceuelpartlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . 6 ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))
21olcd 407 . . . . 5 ((𝐼 + 1) = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽)))
32a1d 25 . . . 4 ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))))
4 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
5 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
76biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 < 𝐽 → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
98impcom 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
10 df-ne 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11 necom 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
1210, 11sylbb1 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
159, 14jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1)))
16 peano2z 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
1716zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
1917, 18anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21 ltlen 10176 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
2315, 22mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) < 𝐽)
2423ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
254, 5, 24syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
27 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
28 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
2927, 28iccpartgt 41688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑗)))
30 fzofzp1 12605 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 elfzofz 12524 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
3433breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑗)))
3532, 34imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑗 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑗))))
36 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝐽))
3837breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽)))
3936, 38imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽))))
4035, 39rspc2v 3353 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽))))
4130, 31, 40syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽))))
4229, 41mpan9 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽)))
4326, 42syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽)))
4443expdimp 452 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽)))
4544impcom 445 . . . . . 6 ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽))
4645orcd 406 . . . . 5 ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽)))
4746ex 449 . . . 4 (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))))
483, 47pm2.61i 176 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽)))
4927adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
5028adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
5130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5251adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5349, 50, 52iccpartxr 41680 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
5431adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5554adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5649, 50, 55iccpartxr 41680 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃𝐽) ∈ ℝ*)
5753, 56jca 553 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐽) ∈ ℝ*))
5857adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐽) ∈ ℝ*))
59 xrleloe 12015 . . . 4 (((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐽) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))))
6058, 59syl 17 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))))
6148, 60mpbird 247 . 2 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽))
6261exp31 629 1 (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  ℤcz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  RePartciccp 41674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-iccp 41675 This theorem is referenced by:  icceuelpart  41697
 Copyright terms: Public domain W3C validator