MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem3 22674
Description: Lemma for icccmp 22675. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (𝜑𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
3 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
42, 3eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5 icccmp.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 icccmp.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12293 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
94, 8syl5ss 3647 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
10 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
11 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
12 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
13 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
14 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
1510, 11, 12, 2, 5, 6, 13, 14, 1icccmplem1 22672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
1615simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
17 ne0i 3954 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1915simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
20 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝐵 → (𝑦𝑣𝑦𝐵))
2120ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑣 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
2221rspcev 3340 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
236, 19, 22syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
24 suprcl 11021 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
259, 18, 23, 24syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26 suprub 11022 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
279, 18, 23, 16, 26syl31anc 1369 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
28 suprleub 11027 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
299, 18, 23, 6, 28syl31anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
3019, 29mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
31 elicc2 12276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
325, 6, 31syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
3325, 27, 30, 32mpbir3and 1264 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
341, 33sseldd 3637 . . 3 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈)
35 eluni2 4472 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3634, 35sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3714sselda 3636 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝐽)
3812rexmet 22641 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
39 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4012, 39tgioo 22646 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
4110, 40eqtri 2673 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4241mopni2 22345 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
4338, 42mp3an1 1451 . . . . . 6 ((𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
4443ex 449 . . . . 5 (𝑢𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
4537, 44syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
465ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
476ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4813ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴𝐵)
4914ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈𝐽)
501ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
51 simplr 807 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑈)
52 simprl 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
53 simprr 811 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
54 eqid 2651 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
55 eqid 2651 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
5610, 11, 12, 2, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55icccmplem2 22673 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵𝑆)
5756rexlimdvaa 3061 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢𝐵𝑆))
5845, 57syld 47 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
5958rexlimdva 3060 . 2 (𝜑 → (∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
6036, 59mpd 15 1 (𝜑𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  supcsup 8387  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  t crest 16128  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798
This theorem is referenced by:  icccmp  22675
  Copyright terms: Public domain W3C validator