Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icccmpALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmpALT 33922
 Description: A closed interval in ℝ is compact. Alternate proof of icccmp 22800 using the Heine-Borel theorem heibor 33902. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmpALT.1 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
icccmpALT.2 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
icccmpALT.3 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
icccmpALT ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)

Proof of Theorem icccmpALT
StepHypRef Expression
1 icccmpALT.1 . . 3 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
2 icccld 22742 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
31, 2syl5eqel 2831 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
4 icccmpALT.2 . . 3 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
51, 4iccbnd 33921 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))
6 iccssre 12419 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
71, 6syl5eqss 3778 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℝ)
8 icccmpALT.3 . . . 4 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
9 eqid 2748 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
104, 8, 9reheibor 33920 . . 3 (𝐽 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝐽 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))))
117, 10syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝐽 ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))))
123, 5, 11mpbir2and 995 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ Comp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703   × cxp 5252  ran crn 5255   ↾ cres 5256   ∘ ccom 5258  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℝcr 10098   − cmin 10429  (,)cioo 12339  [,]cicc 12342  abscabs 14144  topGenctg 16271  MetOpencmopn 19909  Clsdccld 20993  Compccmp 21362  Bndcbnd 33848 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cc 9420  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-ec 7901  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-gz 15807  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-topgen 16277  df-prds 16281  df-pws 16283  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-cn 21204  df-lm 21206  df-haus 21292  df-cmp 21363  df-hmeo 21731  df-hmph 21732  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-cfil 23224  df-cau 23225  df-cmet 23226  df-totbnd 33849  df-bnd 33860  df-ismty 33880  df-rrn 33907 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator