MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icc0 12261
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem icc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 12252 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)})
21eqeq1d 2653 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
3 df-ne 2824 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅)
4 rabn0 3991 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
53, 4bitr3i 266 . . . . 5 (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
6 xrletr 12027 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
763com23 1291 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
873expa 1284 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
98rexlimdva 3060 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
10 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 simp3 1083 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
12 xrleid 12021 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
13123ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
14 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
15 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
1614, 15anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1716rspcev 3340 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
1810, 11, 13, 17syl12anc 1364 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
19183expia 1286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
209, 19impbid 202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
215, 20syl5bb 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴𝐵))
22 xrlenlt 10141 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2321, 22bitrd 268 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2423con4bid 306 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
252, 24bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,]cicc 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-icc 12220
This theorem is referenced by:  iccntr  22671  icccmp  22675  cniccbdd  23276  iccvolcl  23381  itgioo  23627  c1lip1  23805  pserulm  24221  iccdifprioo  40060  cncfiooicc  40425  ibliooicc  40505  voliccico  40534  vonicc  41220
  Copyright terms: Public domain W3C validator