MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblulm 24206
Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
itgulm.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblulm (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 itgulm.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
4 ffn 6083 . . . . . 6 (𝐹:𝑍⟶𝐿1𝐹 Fn 𝑍)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
6 itgulm.u . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7 ulmf2 24183 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
85, 6, 7syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
9 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑥𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
10 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
11 1rp 11874 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
131, 2, 8, 9, 10, 6, 12ulmi 24185 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
141r19.2uz 14135 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → ∃𝑘𝑍𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
1513, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
16 ulmcl 24180 . . . . . . 7 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
176, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
1918feqmptd 6288 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
208ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
21 elmapi 7921 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2322adantrr 753 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2423ffvelrnda 6399 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
2518ffvelrnda 6399 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2624, 25nncand 10435 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
2726mpteq2dva 4777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
2819, 27eqtr4d 2688 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))))
2923feqmptd 6288 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
303ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐿1)
3130adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐿1)
3229, 31eqeltrrd 2731 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
3324, 25subcld 10430 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
34 ulmscl 24178 . . . . . . . . 9 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
356, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
3736, 24, 25, 29, 19offval2 6956 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ((𝐹𝑘) ∘𝑓𝐺) = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
38 iblmbf 23579 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
3931, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
40 iblmbf 23579 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝐿1𝑥 ∈ MblFn)
4140ssriv 3640 . . . . . . . . . 10 𝐿1 ⊆ MblFn
42 fss 6094 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
433, 41, 42sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶MblFn)
441, 2, 43, 6mbfulm 24205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
4639, 45mbfsub 23474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ((𝐹𝑘) ∘𝑓𝐺) ∈ MblFn)
4737, 46eqeltrrd 2731 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ MblFn)
48 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))
4948, 33dmmptd 6062 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = 𝑆)
5049fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) = (vol‘𝑆))
51 itgulm.s . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
5251adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
5350, 52eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ ℝ)
54 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5522ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
5617adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5756ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5855, 57subcld 10430 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5958abscld 14219 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
60 ltle 10164 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
6159, 54, 60sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
62 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
63 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
6462, 63oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
65 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ V
6664, 48, 65fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
6867fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
6968breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
7061, 69sylibrd 249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7170ralimdva 2991 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7271impr 648 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
7349raleqdv 3174 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7472, 73mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
75 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → ((abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7675ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑟 = 1 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7776rspcev 3340 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
7854, 74, 77sylancr 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
79 bddibl 23651 . . . . 5 (((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
8047, 53, 78, 79syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
8124, 32, 33, 80iblsub 23633 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ 𝐿1)
8228, 81eqeltrd 2730 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
8315, 82rexlimddv 3064 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  abscabs 14018  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  𝐿1cibl 23431  𝑢culm 24175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-0p 23482  df-ulm 24176
This theorem is referenced by:  itgulm  24207  itgulm2  24208
  Copyright terms: Public domain W3C validator