Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblulm 24206
 Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
itgulm.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblulm (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 itgulm.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
4 ffn 6083 . . . . . 6 (𝐹:𝑍⟶𝐿1𝐹 Fn 𝑍)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
6 itgulm.u . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7 ulmf2 24183 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
85, 6, 7syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
9 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑥𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
10 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
11 1rp 11874 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
131, 2, 8, 9, 10, 6, 12ulmi 24185 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
141r19.2uz 14135 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → ∃𝑘𝑍𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
1513, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)
16 ulmcl 24180 . . . . . . 7 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
176, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
1918feqmptd 6288 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
208ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
21 elmapi 7921 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2322adantrr 753 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2423ffvelrnda 6399 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
2518ffvelrnda 6399 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2624, 25nncand 10435 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
2726mpteq2dva 4777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
2819, 27eqtr4d 2688 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))))
2923feqmptd 6288 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
303ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐿1)
3130adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐿1)
3229, 31eqeltrrd 2731 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ 𝐿1)
3324, 25subcld 10430 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
34 ulmscl 24178 . . . . . . . . 9 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
356, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝑆 ∈ V)
3736, 24, 25, 29, 19offval2 6956 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ((𝐹𝑘) ∘𝑓𝐺) = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
38 iblmbf 23579 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ 𝐿1 → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
3931, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
40 iblmbf 23579 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝐿1𝑥 ∈ MblFn)
4140ssriv 3640 . . . . . . . . . 10 𝐿1 ⊆ MblFn
42 fss 6094 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑍⟶𝐿1 ∧ 𝐿1 ⊆ MblFn) → 𝐹:𝑍⟶MblFn)
433, 41, 42sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶MblFn)
441, 2, 43, 6mbfulm 24205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ MblFn)
4639, 45mbfsub 23474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ((𝐹𝑘) ∘𝑓𝐺) ∈ MblFn)
4737, 46eqeltrrd 2731 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ MblFn)
48 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))
4948, 33dmmptd 6062 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = 𝑆)
5049fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) = (vol‘𝑆))
51 itgulm.s . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
5251adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
5350, 52eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ ℝ)
54 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5522ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
5617adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5756ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5855, 57subcld 10430 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5958abscld 14219 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
60 ltle 10164 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
6159, 54, 60sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
62 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑥))
63 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
6462, 63oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
65 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ V
6664, 48, 65fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥) = (((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
6867fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
6968breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ 1))
7061, 69sylibrd 249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7170ralimdva 2991 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1 → ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7271impr 648 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
7349raleqdv 3174 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1 ↔ ∀𝑥𝑆 (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7472, 73mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1)
75 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → ((abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7675ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑟 = 1 → (∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1))
7776rspcev 3340 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 1) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
7854, 74, 77sylancr 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟)
79 bddibl 23651 . . . . 5 (((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))(abs‘((𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))‘𝑥)) ≤ 𝑟) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
8047, 53, 78, 79syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
8124, 32, 33, 80iblsub 23633 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → (𝑧𝑆 ↦ (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧)))) ∈ 𝐿1)
8228, 81eqeltrd 2730 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ∧ ∀𝑥𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < 1)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
8315, 82rexlimddv 3064 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ↑𝑚 cmap 7899  ℂcc 9972  ℝcr 9973  1c1 9975   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  abscabs 14018  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  𝐿1cibl 23431  ⇝𝑢culm 24175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-0p 23482  df-ulm 24176 This theorem is referenced by:  itgulm  24207  itgulm2  24208
 Copyright terms: Public domain W3C validator