Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblsubnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblsubnc 33803
Description: Choice-free analogue of iblsub 23808. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsubnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblsubnc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsubnc
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23754 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23624 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 ibladdnc.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 23754 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 23624 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
115, 10negsubd 10600 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
1211mpteq2dva 4878 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
1310negcld 10581 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
149, 6iblneg 23789 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ 𝐿1)
15 iblsubnc.m . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ MblFn)
1612, 15eqeltrd 2850 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ MblFn)
175, 1, 13, 14, 16ibladdnc 33799 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ 𝐿1)
1812, 17eqeltrrd 2851 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  cmpt 4863  (class class class)co 6793  cc 10136   + caddc 10141  cmin 10468  -cneg 10469  MblFncmbf 23602  𝐿1cibl 23605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-0p 23657
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  33815
  Copyright terms: Public domain W3C validator