Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ibliooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibliooicc 40704
Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ibliooicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ibliooicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ibliooicc.3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibliooicc.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ibliooicc (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibliooicc
StepHypRef Expression
1 ibliooicc.3 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
2 ioossicc 12464 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 ibliooicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 ibliooicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 40248 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74rexrd 10291 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
85rexrd 10291 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9 icc0 12428 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
107, 8, 9syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
1110biimpar 463 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
1211difeq1d 3878 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)))
13 0dif 4121 . . . . . . . 8 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
14 0ss 4116 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ {𝐴, 𝐵}
1513, 14eqsstri 3784 . . . . . . 7 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
1612, 15syl6eqss 3804 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
17 ssid 3773 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))
187adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
198adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21 iccdifioo 40260 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
2218, 19, 20, 21syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
2317, 22syl5sseq 3802 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
2416, 23, 5, 4ltlecasei 10347 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
25 prssi 4487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
264, 5, 25syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
27 prfi 8391 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
28 ovolfi 23482 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
2927, 26, 28sylancr 575 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
30 ovolssnul 23475 . . . . 5 ((((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
3124, 26, 29, 30syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
32 ibliooicc.4 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
333, 6, 31, 32itgss3 23801 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥))
3433simpld 482 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
351, 34mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  wss 3723  c0 4063  {cpr 4318   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  vol*covol 23450  𝐿1cibl 23605  citg 23606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611
This theorem is referenced by:  fourierdlem69  40909  fourierdlem73  40913  fourierdlem81  40921  fourierdlem93  40933
  Copyright terms: Public domain W3C validator